Exemplo solucionado: como encontrar uma solução específica para uma equação separável

RKA22JL - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos encontrar uma solução específica de uma equação diferencial separável. E, para isso, nós temos a seguinte equação diferencial: a derivada de “y” em relação a “x”, que é igual a 2, que multiplica y ao quadrado, e vamos dizer que o gráfico de uma solução particular passe pelo ponto (1, -1). E o que eu quero lhe perguntar é: quanto vale “y” quando “x” é igual a 3? E, claro, eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. A chave para esse exercício é transformar essa equação em uma equação diferencial separável. E a chave para essa equação diferencial separável é como o nome já diz: é separar os “x” dos “y”. E como podemos fazer isso? Deixa eu reescrever a equação aqui e você pode multiplicar ambos os membros da equação por “dx”, e, com isso, você pode cancelar esse “dx” com esse. E aí vamos ficar com dy, igual a 2y ao quadrado vezes dx. E, agora, podemos dividir ambos os membros dessa equação por 2y ao quadrado e ajeitar, ficando com ½, que multiplica y, elevado a -2, que multiplica dy, igual a dx. Isso porque nós cancelamos esse 2y ao quadrado com esse. E, agora, nós podemos integrar ambos os membros da equação. Nesse lado esquerdo, nós vamos ter a integral de “y” elevado a -2. Nós somamos 1, que vai dar -1 e dividimos por -1, e, ajeitando, vamos ficar com -½, que multiplica y elevado a -1. E a integral de “dx”, é “x”, e somamos isso com uma constante. E, nessa parte, eu posso multiplicar ambos os membros dessa equação por -2, e aí eu vou ficar com 1 sobre y, porque eu já inverti isso aqui, igual a -2x mais C. Claro, eu poderia colocar aqui -2c também, mas como é uma constante arbitrária, eu posso simplesmente colocar +C. Não vai fazer diferença nenhuma. E preste atenção: se 1 sobre y é igual a isso, então y é igual a 1 sobre -2x mais C. Ou seja, essas duas coisas são inversas uma da outra. Agora, sim. Nós podemos utilizar o ponto que foi dado para descobrir a constante “C ”. Então, substituindo o ponto, nós vamos ter o “y”, que é -1 igual a 1 sobre -2x, que é 1, então -2 vezes 1 mais C. E aí vamos ficar com -1 igual a 1 sobre -2 mais C. E se aplicarmos o produto cruzado, vamos ficar com -1, que multiplica -2c mais C, que é a mesma coisa que 2 menos C, que é igual a 1, colocando aqui, nós podemos subtrair ambos os membros dessa equação por -2, ficando com -C igual a 1 menos 2, que dá -1. E se multiplicarmos ambos os membros da equação por -1, vamos ficar com C igual a 1. Então, uma solução particular dessa equação diferencial é y igual a 1 sobre -2x mais 1. Mas essa não é a resposta da nossa pergunta. Ou seja, eu não quero saber qual é a solução particular. O que eu quero saber é quanto vale o “y” quando “x” é igual a 3. Ou seja, o “y” vai ser igual a 1 sobre -2 vezes 3, que vai dar -6, mais 1, que vai ser igual -⅕. Essa é a resposta da nossa pergunta. E eu espero que essa aula tenha os ajudado, e até a próxima, pessoal!