Exemplo de equações separáveis (antigo)

RKA3JV - E aí, pessoal! Eu acho legal a gente fazer mais um problema de equação diferencial separável. E é o que vamos fazer aqui agora! Então, eu vou colocar a equação diferencial aqui. dy/dx é igual a y cos(x) sobre 1 + 2y². E com condição inicial y(0) = 1. Então, basicamente, para você resolver este tipo de equação aqui, você tem que separar o "x" do "y", para você poder integrar em ambos os membros da equação. Ou seja, aplicar uma integral indefinida do lado esquerdo e do lado direito. E aí, você pode substituir a condição inicial para poder determinar a constante "C". Então, a gente vai começar a mexer algebricamente nesta equação aqui. Então, eu vou multiplicar ambos os membros da equação por 1 + 2y². E aí, ficaremos com 1 + 2y² dy/dx igual a y cos(x). Agora, eu vou dividir ambos os membros da equação por "y" e vamos ficar com 1/y mais 2y dy/dx igual ao cos(x). Agora, vamos multiplicar ambos os membros por "dx". Então, eu vou ficar com 1/y mais 2y "dy" igual ao cos(x) dx Pronto, agora finalmente eu posso integrar em ambos os membros da equação. Então, integrando aqui e integrando aqui. Então, aqui é integral de 1/y. Eu vou colocar como "ln" do módulo de "y". Eu sei que em algumas tabelas aparecerão somente ln(y). Mas eu vou colocar "ln" do módulo de "y", para garantir que o "y" sempre seja positivo. Eu vou colocar "ln" do módulo de "y", mais a integral de 2y, que vai ser o y², igual à integral do cosseno que é o sen(x). Então, sen(x) mais uma constante "C", que eu vou colocar aqui. Agora, para determinar a constante "C", basta substituir a nossa condição inicial y(0) = 1. Substituindo, ficamos com "ln" do módulo de 1, mais 1², isso vai ser igual ao sen(0) mais "C". Feito isso, podemos resolver para determinar a constante "C". E, como sabemos, "ln" do módulo de 1 vai ser igual a zero. Então, "ln" do módulo de 1 igual a zero. 1² vai dar 1. E o seno de zero é zero. Então, vamos colocar os valores aqui. Então, isto daqui vai dar zero mais 1, igual ao seno de zero, que é zero, mais "C". Portanto, chegamos a um valor de "C = 1". Ou seja, determinamos a nossa constante "C". Eu vou substituir aqui. Então, ficaremos com "ln" do módulo de "y", mais y² é igual ao seno de x + 1. E aí, encontramos uma solução particular. Vou colocar aqui, mais 1, pronto. Finalmente, resolvemos a nossa equação diferencial aqui. Então, você tem que ficar atento, porque existem várias equações diferenciais e cada uma tem um método de resolução. Claro, mesmo que a gente veja um conjunto de métodos de soluções, sempre vai ter alguma equação diferencial que você não vai conseguir resolver por métodos tradicionais. Então, por isso, é importante você ver bastante métodos de resolução de equações diferenciais. Enfim, pessoal, até o próximo vídeo!