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Equações diferenciais
Curso: Equações diferenciais > Unidade 1
Lição 4: Equações separáveis- Introdução à equações separáveis
- Abordagem ao tratamento algébrico das diferenciais
- Exemplo solucionado: identificação de equações separáveis
- Exemplo solucionado: como encontrar uma solução específica para uma equação separável
- Exemplo solucionado: equação separável com solução implícita
- Soluções particulares para equações diferenciais separáveis
- Equações separáveis (antigo)
- Exemplo de equações separáveis (antigo)
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Exemplo de equações separáveis (antigo)
Um vídeo antigo de exemplo de como resolver equações separáveis. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal! Eu acho legal a gente fazer mais um
problema de equação diferencial separável. E é o que vamos fazer aqui agora! Então, eu vou colocar
a equação diferencial aqui. dy/dx é igual a
y cos(x) sobre 1 + 2y². E com condição inicial y(0) = 1. Então, basicamente, para você resolver este tipo de equação aqui, você tem que separar o "x" do "y",
para você poder integrar em ambos os membros da equação. Ou seja, aplicar uma integral indefinida
do lado esquerdo e do lado direito. E aí, você pode substituir
a condição inicial para poder determinar a constante "C". Então, a gente vai começar
a mexer algebricamente nesta equação aqui. Então, eu vou multiplicar ambos
os membros da equação por 1 + 2y². E aí, ficaremos com 1 + 2y² dy/dx igual a y cos(x). Agora, eu vou dividir ambos
os membros da equação por "y" e vamos ficar com 1/y mais 2y dy/dx igual ao cos(x). Agora, vamos multiplicar ambos
os membros por "dx". Então, eu vou ficar com 1/y mais 2y "dy" igual ao cos(x) dx Pronto, agora finalmente eu posso integrar em ambos os membros da equação. Então, integrando aqui e integrando aqui. Então, aqui é integral de 1/y. Eu vou colocar como "ln" do módulo de "y". Eu sei que em algumas tabelas
aparecerão somente ln(y). Mas eu vou colocar "ln" do módulo de "y", para garantir que o "y"
sempre seja positivo. Eu vou colocar "ln" do módulo de "y", mais a integral de 2y, que vai ser o y²,
igual à integral do cosseno que é o sen(x). Então, sen(x) mais uma constante "C",
que eu vou colocar aqui. Agora, para determinar a constante "C", basta substituir a nossa
condição inicial y(0) = 1. Substituindo, ficamos com "ln" do módulo de 1, mais 1², isso vai ser igual ao sen(0) mais "C". Feito isso, podemos resolver
para determinar a constante "C". E, como sabemos, "ln" do módulo de 1 vai ser igual a zero. Então, "ln" do módulo de 1 igual a zero. 1² vai dar 1. E o seno de zero é zero. Então, vamos colocar os valores aqui. Então, isto daqui vai dar zero mais 1, igual ao seno de zero,
que é zero, mais "C". Portanto, chegamos a um valor de "C = 1". Ou seja, determinamos
a nossa constante "C". Eu vou substituir aqui. Então, ficaremos com "ln"
do módulo de "y", mais y² é igual ao seno de x + 1. E aí, encontramos uma solução particular. Vou colocar aqui, mais 1, pronto. Finalmente, resolvemos
a nossa equação diferencial aqui. Então, você tem que ficar atento, porque
existem várias equações diferenciais e cada uma tem um método de resolução. Claro, mesmo que a gente veja
um conjunto de métodos de soluções, sempre vai ter alguma
equação diferencial que você não vai conseguir resolver
por métodos tradicionais. Então, por isso, é importante
você ver bastante métodos de resolução de equações diferenciais. Enfim, pessoal, até o próximo vídeo!