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Equações diferenciais
Curso: Equações diferenciais > Unidade 1
Lição 2: Campos de direções- Introdução aos campos de direções
- Exemplo solucionado: equação a partir do campo de direções
- Exemplo solucionado: campo de direções a partir de uma equação
- Exemplo solucionado: como formar um campo de direções
- Campos de direções e equações
- Aproximando curvas solução em campos de direções
- Exemplo solucionado: intervalo da curva de solução a partir do campo de direções
- Raciocínio usando campos de direções
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Exemplo solucionado: como formar um campo de direções
Dada uma equação diferencial em x e y, podemos traçar um segmento com dy/dx como coeficiente angular em qualquer ponto (x,y). Esse é o campo de direções da equação. Veja como determinamos os coeficientes angulares de alguns segmentos no campo de direções de uma equação.
Quer participar da conversa?
Quais símbolos devo usar? Coloquei o valor numeral, não era, Coloquei a os símbolos da curva no ponto e também não era.(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal.
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer um
exercício de campo de direções. E, para isso, eu tenho o seguinte aqui: ao desenhar o campo de direções da
equação diferencial dy/dx = y - 2x, eu colocaria pequenos segmentos de retas
em pontos selecionados no plano (x, y). Complete as sentenças. Ou seja, estas sentenças aqui. E eu sugiro que você pause o vídeo
e tente resolver sozinho. Primeiro, nós temos no ponto (-1, 1), eu desenharia um pequeno
segmento com inclinação. E para calcular a inclinação
destes pequenos segmentos, nós utilizamos esta
equação diferencial aqui. Basicamente, você substitui
este ponto aqui. Ou seja, quando "x" é igual a -1,
"y" é igual a 1. E, sabendo disso, qual é a derivada
de "y" em relação a "x"? E é isso que esta equação
diferencial nos diz. Portanto, substituindo o ponto (-1, 1)
na equação diferencial, nós vamos ter 1 - 2 vezes -1,
que é igual a 3. Portanto, eu desenharia um pequeno
segmento com uma inclinação de 3. E nós fazemos a mesma coisa
para estes 2 pontos. E, neste caso, quando "x" é igual a zero,
"y" é igual a 2. E aí, vamos ter dy/dx
igual a 2 - 2 vezes zero. E se eu cancelar isto,
a inclinação vai ser igual a 2. Então, eu desenharia um pequeno
segmento com inclinação de 2 unidades. E, por fim, neste caso o "x" vai valer 2 e o "y" vai valer 3. Portanto, dy/dx vai ser
igual a 3 - 2 vezes 2. E isso aqui dá -4. Com mais 3, vai ser igual a -1. Então, esta inclinação vai ser igual a -1. Isso é tudo que o exercício nos pede. Mas, só para ter uma ideia geométrica, eu vou desenhar um plano cartesiano aqui. E eu posso colocar os pontos aqui, mas primeiro eu vou colocar aqui 1, 2, 3
e aqui 1, 2, 3. Aqui -1, -2, - 3. E aqui -1, -2 e -3. Basicamente, neste ponto aqui,
que é o ponto (-1, 1), que está aqui. E nós temos que representar esta
inclinação com um pequeno segmento. A inclinação de 3 unidades
seria algo mais ou menos assim. No ponto (0, 2) a inclinação
é de 2 unidades. Ou seja, neste ponto (0, 2)
a inclinação está mais ou menos assim. E, por fim, no ponto (2, 3)
nós temos a inclinação igual a -1. Então, aqui no ponto (2, 3)
nós temos mais ou menos esta inclinação. E, claro, se você tivesse mais pontos, você poderia fazer isso cada vez mais. E isso indicaria a derivada
em cada um destes pontos. E isso te daria um conjunto
de soluções para esta equação diferencial. Eu espero que esta
aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!