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Exemplo solucionado: como formar um campo de direções

Dada uma equação diferencial em x e y, podemos traçar um segmento com dy/dx como coeficiente angular em qualquer ponto (x,y). Esse é o campo de direções da equação. Veja como determinamos os coeficientes angulares de alguns segmentos no campo de direções de uma equação.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer um exercício de campo de direções. E, para isso, eu tenho o seguinte aqui: ao desenhar o campo de direções da equação diferencial dy/dx = y - 2x, eu colocaria pequenos segmentos de retas em pontos selecionados no plano (x, y). Complete as sentenças. Ou seja, estas sentenças aqui. E eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. Primeiro, nós temos no ponto (-1, 1), eu desenharia um pequeno segmento com inclinação. E para calcular a inclinação destes pequenos segmentos, nós utilizamos esta equação diferencial aqui. Basicamente, você substitui este ponto aqui. Ou seja, quando "x" é igual a -1, "y" é igual a 1. E, sabendo disso, qual é a derivada de "y" em relação a "x"? E é isso que esta equação diferencial nos diz. Portanto, substituindo o ponto (-1, 1) na equação diferencial, nós vamos ter 1 - 2 vezes -1, que é igual a 3. Portanto, eu desenharia um pequeno segmento com uma inclinação de 3. E nós fazemos a mesma coisa para estes 2 pontos. E, neste caso, quando "x" é igual a zero, "y" é igual a 2. E aí, vamos ter dy/dx igual a 2 - 2 vezes zero. E se eu cancelar isto, a inclinação vai ser igual a 2. Então, eu desenharia um pequeno segmento com inclinação de 2 unidades. E, por fim, neste caso o "x" vai valer 2 e o "y" vai valer 3. Portanto, dy/dx vai ser igual a 3 - 2 vezes 2. E isso aqui dá -4. Com mais 3, vai ser igual a -1. Então, esta inclinação vai ser igual a -1. Isso é tudo que o exercício nos pede. Mas, só para ter uma ideia geométrica, eu vou desenhar um plano cartesiano aqui. E eu posso colocar os pontos aqui, mas primeiro eu vou colocar aqui 1, 2, 3 e aqui 1, 2, 3. Aqui -1, -2, - 3. E aqui -1, -2 e -3. Basicamente, neste ponto aqui, que é o ponto (-1, 1), que está aqui. E nós temos que representar esta inclinação com um pequeno segmento. A inclinação de 3 unidades seria algo mais ou menos assim. No ponto (0, 2) a inclinação é de 2 unidades. Ou seja, neste ponto (0, 2) a inclinação está mais ou menos assim. E, por fim, no ponto (2, 3) nós temos a inclinação igual a -1. Então, aqui no ponto (2, 3) nós temos mais ou menos esta inclinação. E, claro, se você tivesse mais pontos, você poderia fazer isso cada vez mais. E isso indicaria a derivada em cada um destes pontos. E isso te daria um conjunto de soluções para esta equação diferencial. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!