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Transcrição de vídeo

bom nesse vídeo vai introduzir conceitos de com volução onde a gente vai concluir funções nesse vídeo não vou mergulhar na intuição da convulsão porque há muitas maneiras diferentes de se olhar pra isso então antes de aplicações diferentes e se você quiser ser um engenheiro você vai ver a com volução de uma forma discreta e de uma forma contínua em um monte de maneiras diferentes nesse vídeo eu quero que você se sinta confortável com a idéia de convulsão especialmente no contexto das transformadas della pace que a gente já tinha visto anteriormente então vamos ao teorema da com o volos ão primeiro de tudo eu vou definir o que é uma com volumes são vamos dizer que eu tenho uma função ft vamos dizer então pegar fazerem amarelo e bom vamos dizer que eu tenho efe dt e que eu quero com volume dessa minha função com g então só quero concluir com g é eu vou representar dessa maneira então eu tenho parentes e tenho efe s a a ceres com o símbolo da com volumes são dg e isso aqui vai ser uma função de t então a fgf estrelas e e aqui há uma função de t bom até agora não definiu que isso significa eu preciso definir isso de uma coisa parecida como por exemplo com a vamos armar o ataque com a été triângulo b isso aqui seria igual a por exemplo a + b / 3 eu preciso definir de uma forma parecida com essa mbombela a definição de uma com volução vamos ver que a gente tem diversas definições e essa que eu vou fazer é uma que você verá em casa os contínuos que é integral de zero até então vamos continuar isso que a gente estava fazendo então eu tenho que isso aqui vai ser igual a integral de zero até de f e aqui eu tenho t - tal isso aqui parênteses g de tal g digital de tal então de tal cuidado pra não se confunde e se como gerente o t eo tal tá bom então isso pode parecer uma coisa meio bizarra a gente fazer você deve pensar sabrina como eu corro com uma coisa dessas bom pra te ajudar vou calcular uma com volução foi bem difícil de encontrar funções fáceis de calcular analiticamente e você vai ver que a gente vai encontrar um monte de identidade trigonométricas para calcular isso mas eu digo que efe dt vamos definir efe dt como sendo o seu carro de cor aqui vamos dizer q f de ter é igual a cena de terror então sendo dt e eu vou definir gdt como cosseno de t então vamos fazer aqui g dt é igual a cosseno de t bom agora vamos com volume irá essas duas funções a compulsão df com g bom ela vai ser então vamos fazer aqui que vou continuar nessa cor a com volução de f com g representando aqui com a estrela e isso aqui é uma função de ter vai ser igual então é a gente vai ter a integral de zero até te tão integral de zero até te é sereno dt - tal isso cosseno digital the tao bom essa integral que a gente precisa resolver vamos usar um pouco de trigonometria que vamos fazer isso eu quero resolver nesse vídeo porque eu quero te mostrar que isso não é uma coisa abstrata é eu quero te mostrar que a gente consegue resolver esse tipo de função a primeira coisa que eu quero fazer é reescrever sendo de ter menos tal e para isso a gente vai usar a identidade trigonométrica ia se você encontra em qualquer livro de matemática qualquer livro de cálculo então eu vou definir aqui ano de ter menos tal vai ser igual ao aceno de t cosseno digital vezes cosseno digital - seno de tal vezes cosseno de t bom se a gente fizer essa substituição você descobre que a convolação df com g vamos continuar aqui embaixo a compulsão df com g ela vai ser igual vai ser igual a integral de zero até te de seno cosseno de t cosseno vezes cosseno de tal - e no digital vezes cosseno dt isso vezes de tal bom até agora tudo certo vamos distribuir esse cosseno digital que nós temos então é vamos pegar um pouquinho mais de espaço aqui eu vou mudando de cor para não ficar uma coisa assim tão monótona durante o vídeo então vamos de azul agora vamos distribuir esse cosseno então eu tenho aqui a com volução df com g que é igual a integral de zero até te de seno de t cosseno quadrado no quadrado de tal - cosseno de t c no vezes e no digital vezes cosseno digital the tao bom agora que a gente está fazendo é integral de duas coisas que estão subtraindo uma da outra vamos transformar isso em duas integrações separadas isso é uma integral de zero até que a gente vai começar a falar então vamos lá então eu tenho mudando de cor novamente até então que isso aqui vai ser igual a integral que vai de zero até te de ano dt vezes cosseno ao quadrado digital é de tal - a integral que vai de zero até td cosseno dt vezes e no the town vezes cosseno de tal de tal bom e agora o que a gente pode fazer pra sempre ficar mais lembre se que a gente vai estar integrando em relação a tal esse cosseno de ter que a gente tem aqui é uma constante opa e cena de t também é uma constante bom e pelo que eu sei aqui a gente pode dizer que isso por exemplo citei igual a 5 citei igual a 5 tudo isso seria uma constante então ea gente está integrando somente em relação a tal então conselho de 5 que é uma constante pode ser retirada da nossa integral a gente faz isso nós temos então que isso aqui vai ser igual isso aqui vai ser igual a sceno seno de t agora a gente tem a nossa integral de zero até t d ao quadrado de tal de tal - tirando o cosseno da nossa integral - cosseno de t é que a gente tem a nossa integral de zero até de seno de tal vezes cosseno digital the tao bom essa ante derivada que a gente tem aqui é bem simples a gente pode fazer uma substituição essa substituição que é a substituição puro então a gente poderia dizer aqui que um é igual ao aceno de tal e que por exemplo deus sobre the town é igual a cosseno digital ea gente poderia dizer que isso aqui é a mesma é igual a deu o que é igual a cosseno de tal de tal bom eu vou fazer substituição primeiro antes de resolver os nossos valores finais e isso aqui é mais parecido com um enigma não sei como tomar antes de ser levada do conselho ao quadrado de tal por exemplo isso não é tão óbvio então pra fazer isso a gente vai usar mais algumas identidades trigonométricas é continuar aqui do lado e vou continuar na mesma cor que são as nossas anotações eu vou usar a identidade trigonométrica do cosseno ao quadrado aqui cosseno ao quadrado de tal conselho ao quadrado de tal que é igual então há um meio isso também você pode ver num livro um meio vezes um mais cosseno de 2 tal bom em mais uma vez sou apenas uma identidade trigonométrica que eu já disse antes você vai encontrar no livro de matemática a gente vai fazer a substituição e vamos ver no que dá vamos colocar esse o meio pra fora tá bom vamos fazer isso então pegando espaço aqui nós temos é meio como disse vou colocar pra fora meio vezes e no de t e aqui a gente tem a nossa integral nossa integral de zero até td1 mais cosseno de 2 tal isso aqui de tal - cosseno de t e aqui a gente tem a nossa integral aqui vamos dizer que tal é igual a zero e que tal aqui é igual até então a gente tem a integral de o d&o vamos ver se a gente consegue fazer algo útil aqui vamos pegar a nossa ante derivada continuando então a gente tem meio vezes seno dt que vai ser então aqui mas vamos ver a nossa ante derivada nós temos então pau mas um meio de seno de 2 tal ea gente vai definir isso aqui fazer um pouquinho mais reto aqui a gente vai definir isso aqui de zero até isso aqui - é vamos continuar outra parte que é cosseno dt e vamos ver a nossa integral de o'donnell vou fazer aqui no cantinho pegar um pouquinho mais de espaço aqui pra gente não se atrapalhar então vamos ver aqui do lado da nossa outra anotação bom a gente tem que é integral de o de u é igual a meio meses o ao quadrado mas o que era o bom era cena de tal então ante derivada é um meio vezes o que o e cena de tal quadrado então a gente pode colocar aqui continuando que é que a gente tem cosseno de ter isso aqui é meio a meio o papa o meios e no ao quadrado cena ao quadrado de tal e isso aqui a gente vai definir também de zero até te ok bom você geralmente precisa colocar aqui do lado você geralmente precisa fazer esse tipo de cistos de substituição por u é parece que a gente está acabando esse problema né pelo menos é o que parece a vamos pegar a com volução de cena de t com o cosseno de t então a gente tem que trocar de cor novamente então a gente tem isso aqui é igual a meio sendo meio vezes e no de t e aqui a gente tem ter mais um meio vezes e no de 2 t sendo de 2 t - bom a gente vai ter aqui então 0 - um meio de seno de zero e chegar aqui bons aqui a gente sabe que vai ser igual a zero certo então a primeira integral é simplificada ela fita ela fica vamos pegar aqui embaixo ela vai ficar então o meio ano e meio de ter e aqui a gente tem que ter mais um meio vezes seno de 2 t é bom e agora a nossa segunda integral como ela vai ficar vamos fazer aqui do lado então vou até fazer de uma cor diferente a nossa segunda que como que ela vai ficar bom a gente tem então - cosseno de ter isso aqui é um meio seno ao quadrado de ter menos 10 ao quadrado bom isso vai se simplificar então vamos colocar isso tudo junto então a gente tem a parte que a gente fez antes certo juntando essas duas partes que a gente fez essa parte aqui que a gente acabou de fazer ea parte que a gente fez antes é nós vamos ter então um meio de t/ano de t mas a gente tem um meio é a gente tem um quarto aqui mais um quarto de seno dt vezes e no de 2 t - um meio ano ao quadrado dt vezes o cosseno detém bom isso aqui que a gente acabou de escrever já é uma resposta mas eu acho que a gente ainda consegue simplificar ainda mais usando outras identidades trigonométricas pois então vamos lá estão fazendo aqui de aso eu vou fazer identidade de sendo de 2 t que vai ser igual então a 2 c no de te ver izzo cosseno de t bom vamos substituir isso então vamos fazer aqui vamos continuar em azul então eu tenho um meio de ter seno de t mas um quarto de seno de t isso aqui vezes 2 sendo dt vezes cosseno dt - um meio de seno ao quadrado de tv vezes o cosseno de t bom vamos rescrever tudo isso eu não disse que seria fácil então vou fazer aqui em amarelo então a gente tem aqui é bom um quarto vezes 2 é um meio então a gente tem que isso aqui vai ser igual então a gente tem aqui um meio de seno ao quadrado dt vezes o cosseno dt vezes o cosseno dt - um meio seno ao quadrado dt vezes o cosseno dt bom e na frente a gente ainda tinha um meio de tentam um meio de ter é uma de tc no de ter certa bom tem dois caras aqui que a gente consegue ver que ele se que ele se simplificam certo eu tenho esse aqui e esse aqui então no final desse bendita problema a gente tem que ele vai ser igual a 1 o meio de ter vezes seno de t bom a gente pode reescrever que efe dt e vamos ter aqui efe ditec é igual ao aceno de t e qg de t é igual a cosseno de ter certo e nós mostramos a com volução delas a gente fez aqui do lado então só vamos fazer isso aqui de novo a gente tem vou fazer aqui em rosa a gente tem a convolação dessas duas funções que são uma função de ter ea gente viu que ela era a integral de zero até de f1 de ter menos tal vezes g digital de tal ea gente viu que isso é igual a integral de zero até de seno de ter menos culpa de ter menos t - tal g digital era um pouquinho de espaço aqui betal ea gente viu que a solução que o álcool é um meio de tv vezes e no de t isso que a gente fez foi para mostrar que essa convulsão ela está com o volume da e que você pode ter uma resposta válida assim eu espero que você tenha entendido como que a gente calcula uma convulsão e até mais