Introdução a convolução

RKA4JL - Neste vídeo eu vou introduzir o conceito de convolução, onde a gente vai convoluir funções. Neste vídeo não vou mergulhar na intuição da convolução, porque há muitas maneiras diferentes de se olhar para isso. Tem muitas aplicações diferentes e se você quiser ser um engenheiro, você vai ver a convolução de uma forma discreta e também de forma contínua em um monte de maneiras diferentes. Neste vídeo eu quero que você se sinta confortável com a ideia de convolução, especialmente no contexto das transformadas de La Place que a gente já tinha visto anteriormente. Então vamos ao teorema da convolução. Primeiro de tudo eu vou definir o que é uma convolução. Vamos dizer que eu tenha uma função f(t). Vamos dizer, então... (Deixe-me fazer em amarelo) Vamos dizer que eu tenho f(t) e que quero convoluir essa minha função com g. Então se quero convoluir com g, eu vou representar dessa maneira. Eu tenho parênteses e tenho (f*g): esse asterisco é o símbolo da convolução de g e isso aqui vai ser uma função de t. Então a f*g, "f-estrela-g", e aqui é uma função de t. Até agora eu não defini o que isso significa. Eu preciso definir isso de uma forma parecida como, por exemplo, (deixe-me arrumar isso aqui), com a Δ b e isso aqui seria igual a, por exemplo, (a mais b) dividido por 3. Eu preciso definir de uma forma parecida com essa. Na definição de uma convolução vamos ver que a gente tem diversas definições e essa que eu vou fazer é uma que você verá em casos contínuos, que é a integral de zero a t. Então vamos continuar isso que a gente estava fazendo. Eu tenho que isso aqui vai ser igual à integral de zero a t de f e aqui eu tenho (t menos τ), isso em parênteses, g(τ) dτ. Cuidado para não se confundir entre t e τ (tal). Então isso pode parecer uma coisa meio bizarra de a gente fazer. Você deve pensar: "Sabrina, como eu calculo uma coisa dessas?" Para lhe ajudar vou calcular uma convolução. Foi bem difícil de encontrar funções fáceis de calcular analiticamente e você vai ver que a gente vai encontrar um monte de identidades trigonométricas para calcular isso. Mas se eu digo que f(t)... Vamos definir f(t) como sendo (deixe-me trocar de cor), vamos dizer que f(t) é igual ao seno de t. Eu vou definir g(t) como cosseno de t. Então vamos fazer aqui g(t) igual a cosseno de t. Agora vamos convoluir essas duas funções. A convolução de f com g vai ser então... Vamos fazer aqui (vou continuar nesta cor) a convolução de f com g, representando com a estrela e isso aqui é uma função de t, vai ser igual... A gente vai ter a integral de zero até t. Então integral de zero até t de sen(t menos τ) e isso, cos(τ) dτ. Esta é a integral que a gente precisa resolver. Vamos usar um pouco de trigonometria aqui. Vamos fazer isso. Eu quero resolver nesse vídeo porque quero lhe mostrar que isso não é uma coisa abstrata. Eu quero mostrar que a gente consegue resolver esse tipo de função. A primeira coisa que eu quero fazer é reescrever sen(t menos τ). Para isso a gente vai usar a identidade trigonométrica. Isso você encontra em qualquer livro de matemática, qualquer livro de cálculo. Então eu vou definir aqui sen (t menos τ) vai ser igual a sen(t) vezes cos(τ) menos sen(τ) vezes cos(t). Se a gente fizer essa substituição, você descobre que a convolução de f com g (deixe-me continuar aqui embaixo) a convolução de f com g vai ser igual à integral de zero até t de sen(t) vezes cos(τ) menos sen(τ) vezes cos(t) e isso vezes dτ. Até agora tudo certo. Vamos distribuir esse cosseno de τ que nós temos. Deixe-me pegar um pouquinho mais de espaço aqui e vou mudando de cor para não ficar uma coisa tão monótona durante o vídeo. Então vamos de azul. Vamos distribuir esse cosseno. Então eu tenho aqui a convolução de f com g que é igual à integral de zero até t de sen(t) cos²(τ) menos cos(t) vezes sen(τ) vezes cos(τ) dτ. Agora que a gente está fazendo a integral de duas coisas que estão se subtraindo uma da outra, vamos transformar isso em duas integrais separadas. Isso é uma "integral de zero a t" que a gente vai começar a falar. Vamos lá. Então eu tenho (mudando de cor novamente), tenho que isso aqui vai ser igual à integral, que vai de zero até t, de sen(t) vezes cos²(τ) dτ menos a integral que vai de zero até t de cos(t) vezes sen(τ) vezes cos(τ) dτ. E agora, o que a gente pode fazer? Para simplificar mais lembre-se que a gente vai estar integrando em relação a τ. Esse cos(t) que a gente tem aqui é uma constante. E sen(t) também é uma constante. Pelo que eu sei aqui a gente pode dizer que isso, por exemplo esse t, é igual a 5. Se t é igual a 5, tudo isso seria uma constante. Então a gente está integrando somente em relação a τ. Então cos 5, que é uma constante, pode ser retirada da nossa integral. Se a gente faz isso nós temos, então, que isso aqui vai ser igual a sen(t) e agora a gente tem a nossa integral de zero até t de cos²(τ) dτ menos (tirando o cosseno da nossa integral), menos cos(t) (aqui a gente tem a nossa integral de zero a t) de sen(τ) vezes cos(τ) dτ. Esta antiderivada que a gente tem aqui é bem simples. A gente pode fazer uma substituição. Esta substituição é a substituição por u. Então a gente poderia dizer aqui que u é igual a sen(τ) e que, por exemplo, du sobre dτ é igual a cos(τ) e a gente poderia dizer que isso aqui é igual a du, que é igual a cos(τ) dτ. Eu vou fazer a substituição primeiro, antes de resolver os nossos valores finais. Isso aqui é mais parecido com um enigma, não sei como tomar a antiderivada do cos²(τ), por exemplo. Isso não é tão óbvio. Então para fazer isso a gente vai usar mais algumas identidades trigonométricas. Continuando ao lado, vou continuar na mesma cor, que são as nossas anotações. Eu vou usar a identidade trigonométrica do cos²(τ), que é igual a ½ (isso você também pode ver em algum livro) ½ vezes 1 mais cos(2τ). Mais uma vez isso é apenas uma identidade trigonométrica que, como eu já disse antes, você vai encontrar no livro de matemática. A gente vai fazer a substituição e ver no que dá. Vamos colocar esse ½ para fora. Vamos fazer isso. Deixe-me pegar um espaço aqui. Nós temos ½ (como eu disse, vou colocar para fora) ½ vezes sen(t) e aqui a gente tem a nossa integral de zero até t de 1 mais cos(2τ), e aqui dτ menos cos(t), e aqui a gente tem a nossa integral. Aqui vamos dizer que τ é igual a zero e que aqui τ é igual a t. Então a gente tem a integral de u du. Vamos ver se a gente consegue fazer algo útil aqui. Vamos pegar a nossa antiderivada. Continuando, então, a gente tem: ½ vezes sen(t), que vai ser mais... Vamos ver a nossa antiderivada. Nós temos τ mais ½ de sen(2τ) e a gente vai definir isso aqui (deixe-me fazer um pouquinho mais reto), a gente vai definir isso aqui de zero a t e isso aqui menos... Vamos continuar em outra parte, que é cos(t), e ver a nossa integral de u du. Deixe-me fazer aqui no cantinho e pegar um pouquinho mais de espaço para a gente não se atrapalhar. Então vamos ver aqui ao lado a nossa outra anotação. A gente tem que a integral de u du é igual a ½ vezes u². Mas o que era "u"? u era sen(τ). Então a antiderivada é ½ vezes u, onde u é (sen(τ))². Então a gente pode colocar aqui, continuando, aqui a gente tem cos(t), isso aqui é ½ sen²(τ) e isso aqui a gente vai definir também de zero até t. Você geralmente precisa (deixe-me colocar aqui ao lado), você, geralmente, precisa fazer esse tipo de substituição por u. Parece que a gente está acabando este problema, não é? Pelo menos é o que parece. Vamos pegar a convolução de sen(t) com cos(t). Então a gente tem (deixe-me trocar de cor novamente), então a gente tem que isso aqui é igual a ½ sen(t) e aqui a gente tem t mais ½ vezes sen(2t) menos... A gente vai ter aqui, então, zero menos ½ de seno de zero (vamos fechar aqui). Isso aqui gente sabe que vai ser igual a zero, certo? Então a primeira integral simplificada fica... Vamos pegar aqui embaixo. Ela vai ficar, então, ½ sen(t) e aqui a gente tem t mais ½ vezes sen(2t). E agora a nossa segunda integral, como ela vai ficar? Vamos fazer aqui ao lado. Vou até fazer de uma cor diferente a nossa segunda. Como que ela vai ficar? A gente tem -cos(t), isso aqui é ½ sen²(t) menos 0². Isso vai se simplificar. Vamos colocar isso tudo junto. Então aqui tem a parte que a gente fez antes. Juntando estas duas partes que a gente fez, essa parte aqui que a gente acabou de fazer e a parte que a gente fez antes, nós vamos ter: ½ de t sen(t) mais... A gente tem ½, então a gente tem ¼ aqui mais ¼ de sen(t) vezes sen(2t) menos ½ sen²(t) vezes cos(t). Isso aqui que a gente acabou de escrever já é uma resposta, mas eu acho que a gente ainda consegue simplificar ainda mais usando outras identidades trigonométricas. Pois então, vamos lá. Fazendo aqui de azul, eu vou fazer a identidade de sen(2t), que vai ser igual a 2 sen(t) vezes cos(t). Vamos substituir isso, então. Vamos fazer aqui, continuando em azul. Eu tenho ½ de t sen(t) mais ¼ de sen(t) isso aqui vezes 2 sen(t) vezes cos(t) menos ½ de sen²(t) vezes cos(t). Vamos rescrever tudo isso. Eu não disse que seria fácil. Deixe-me fazer aqui em amarelo. Vamos reescrever isso. Então a gente tem aqui ¼ vezes 2 é ½. Então a gente tem que isso aqui vai ser igual... A gente tem aqui ½ de sen²(t) vezes cos(t) menos ½ sen²(t) vezes cos(t). E na frente a gente ainda tinha ½ de t. Então ½ de t sen(t). Tem dois caras aqui que a gente consegue ver que eles se simplificam. Eu tenho este aqui e esse aqui. No final desse bendito problema a gente tem que ele vai ser igual a ½ de t vezes sen(t). A gente pode reescrever que f(t)... f(t) é igual a sen(t) e g(t) é igual a cos(t), certo? Nós mostramos a convolução delas. A gente fez aqui do lado, então só vamos fazer isso aqui de novo. A gente tem (deixe-me fazer aqui em rosa), a gente tem a convolução dessas duas funções, que são uma função de t e a gente viu que ela era a integral de zero até t de f de (t menos τ) vezes g(τ) dτ e a gente viu que isso era igual à integral de zero a t de sen (t menos τ) g(τ) (deixe-me pegar um pouquinho de espaço aqui) dτ. E a gente viu que a solução calculada é ½ de t vezes sen(t). Isso que a gente fez foi para mostrar que essa convolução está convoluída e que você pode ter uma resposta válida, sim. Eu espero que você tenha entendido como que a gente calcula uma convolução e até mais!