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Usando o Teorema de Convolução para resolver um problema de valor inicial

Transcrição de vídeo

agora que a gente sabe um pouco sobre integral de convulsão e como ela se aplica transformada de laplace vamos tentar resolver uma equação diferencial usando que a gente sabe então eu tenho a seguinte equação eu tenho a segunda derivada de y mais duas vezes y linha mais duas vezes e y que isso aqui é igual a cena de alfa t ea gente tinha condições que eu tenho y de zero a igual a igual a zero e y linha zero é igual a zero também bom vamos ao nosso problema a primeira coisa a se fazer é retirar é a transformada de laplace dos dois lados da nossa equação então vamos lá vamos fazer isso então eu tenho é que s quadrado s quadrado y maiúsculo ds - sy de zero - y linha de zero e essa é transformada della pace da nossa segunda derivada ok bom agora a gente tem que pegar a de dois chips um linha então a gente tem aqui mais duas vezes system32 madela passe de dois ep's 1 então a gente tem aqui vou até fazer aqui uma cor diferente a gente tem aqui mais dois y maiúsculo de s e isso aqui vai ser igual a transformada de laplace de cena de alfa te então pegando aqui espaço a gente tem igual a transformar della pace de feno de alfafa que a gente já viu que seria alfa sobre s quadrado alfa sobre s quadrado mas alfa quadrado ok nós já fizemos isso um milhão de vezes é agora vamos separar os termos a transformar della pace de y ou termos de y de s então vamos aproveitar e nos livrar das nossas condições iniciais então a gente pode se livrar aqui vamos ver disse aqui disso aqui e diz aqui a nossa expressão todo então ela vai ser esse quadrado y de s mais dois sydney-2000 o ds que é igual a alfa sobre s quadrado mas alfa quadrado bom vamos aturar y ds então até trocar de cor aqui vamos aturar isso então a gente tem aqui é se quadrado mais dois s mais 2 vezes e y de s igual a alfa som bié se quadrado mas alfa quadrato vamos dividir os dois lados por isso aqui então a gente tem que vão de s é igual a alfa sobre s quadrado mas alfa quadrado vezes vou fazer aqui um pontinho vezes um sobre s quadrado mais dois s mais dois bom que a gente pode fazer aqui lembre-se que eu estava fazendo isso no contexto da com volumes são eu quero procurar pela transformada de laplace que parece com um produto das duas transformadas della pace produto de duas transformações de la paz perdão e eu sei qualquer transformada della pace inversa disso daqui vai ser seno alfa de t eu posso expressar yrs com uma integral de com volução mesmo que eu não necessariamente resolvesse integral daqui pra frente é só o cálculo então vamos tentar colocar isso é em termos de uma integral de com volução o que eu posso fazer com um sobre s quadrado mas o s mais dois bom isso que a gente tem aqui no um quadrado perfeito então a melhor coisa que eu posso fazer em seguida é tentar completar esse quadrado ea gente vai tentar fazer isso ver se a gente consegue pegar aqui vou fazer aqui em cima é eu posso escrever isso aqui como sendo s quadrado mais dois s mas alguma coisa é isso aqui mais dois vamos colocar um aqui nesse lugar de alguma coisa então a gente vai ter esse quadrado mais dois s mais dois s mais um isso aqui vai ser igual a mais 2 - 1 não posso simplesmente colocar uma coisa de um lado não colocar do outro ea gente fica então com s opa s mais um s mais um ao quadrado mas então agora a gente pode reescrever o nosso y diece y de sydney-2000 atenas-2004 grado isso aqui vezes um sobre s mais um ao quadrado mais um ao quadrado mais um eu já disse que eu já sabia qual era transformado della pace de alfa sobre s quadrado mas alfa quadrado bom agora eu preciso saber transformar dj azz inveja disso daqui e eu posso expressar la como uma integral de com bolo são e como eu faço isso bom eu poderia dizer aqui que fazer em branco que y de t é igual a transformada de laplace inversa de vamos dizer que eu tenho aqui y ds que vai ser igual a transformada de laplace inversa de alfa sobre s quadrado mais alfa quadrado vezes vezes um sobre s mais um quadrado mais um bom e agora o teorema da convulsão no disse que aquilo vai ser igual a transformar delatasse inversa do primeiro termo do produto então a gente tem aqui que isso aqui vai ser igual a transformada della pace inversa de alfa sobre s quadrado mais alfa quadrado em com volução com a transformada denotasse inverso do nosso segundo termo então transformada della pace inversa de um sobre s mais um ps mais um ao quadrado mais um e se eu tenho o produto de duas transformadas de laplace após cada uma delas independentemente eu posso inverter los e isso vai ser igual a com polução das transformadas de la paz em versos de cada uma delas ou seja de cada um dos termos acho que você captou a idéia eu estou tentando passar né então eu tenho essas duas coisas que independentemente eu posso tirar é inversa de cada uma delas logo transformada della pace do seu produto vai ser a com um golo são de cada uma das suas transformadas inversas bom mas agora o que é isso que a gente tem aqui bom a transformada della pace inversa disso bom vamos ver vai ser seno gente vai ter sendo de alfa t em com o lução com a transformados em la paz é inversa disso daqui então vamos fazer aqui do lado z aqui fazer em amarelo transformada della pace de seno de t ela é igual a 1 sobre s quadrado mais um bom aparece bem claro com que a gente tem mas a gente foi deslocado por causa desse um que a gente tem ali bom você se lembra transformado della pace por exemplo de transformada de laplace de henna e à tv2 oceano de t certo a gente já viu isso em outros vídeos bom quando você multiplica por isso a gente desloca transformada de la paz então então isso vai ser igual ao dizer que isso vai ser igual então a 11 sobre s - a ao quadrado mais um agora a gente tem algo bem parecido se a gente fizer igual a menos um agente vai ajustar o nosso padrão então a gente vai ter voltando aqui a gente tem cena de alfa t in com volução com e na menos 11 vezes te seno de t essa solução da nossa equação diferencial apesar que essa nova forma muito agradável de se ver isso aqui é igual a y dt y de bom e agora se a gente quiser se expressar ela como uma integral eu não vou resolver integral aqui mas vamos lá qualquer com volução dessas duas pegando aqui uma outra cor a gente vai dizer então que isso aqui é igual a integral de zero até de seno de t sendo de ter menos tal vezes alfa e na - tal seno digital the tao bom isso é um modo de fato você deve r você deve pensar que isso deve ser meio óbvio que isso pode ser qualquer pode ser excluído de qualquer jeito porque a ordem nos produtos não vai ao ar em fatores não vai alterar o nosso produto é bom a gente também poderia ter escrito isso como sendo como sendo é na - t/ano de t em com volução com seno de alfa te alfa t que é igual a integral ou chegar mais fosse aqui integral de henna - t - tal vezes c no de ter menos tal isso aqui seno macy's passe sendo de alfa vezes tal te tal por qualquer uma dessas respostas seria aceitável espero que esse segundo exemplo com solução para resolver a transformar della pace tenha clareado um pouco mais as coisas pra você