Laplace/Equação diferencial de função escalonada

RKA8JV - Vamos aplicar tudo o que aprendemos em uma equação diferencial real. Em vez de apenas tomar a transformar de Laplace e calcular sua inversa, vamos resolver um problema real. Então, digamos que eu tenha a seguinte equação: a derivada de segunda ordem de "y" + 4 vezes a função "y" igual ao sen(t) menos a função degrau que varia de zero a 2π(t) vezes o sen(t- 2π). Bem, nesta função podemos ver algumas interpretações, como por exemplo a derivada de segunda ordem. Lembrando que quando você deriva duas vezes uma função posição, você acaba tendo a aceleração. Mas enfim, eu não vou ficar muito tempo com interpretações desta equação aqui. Vamos resolvê-la. Então, vamos tirar a transformada de cada termo. A transformada da derivada de segunda ordem vai ser s² vezes a transformada de "y" menos sy(0) menos y'(0) mais 4 vezes a transformada de "y" igual, e a transformada do seno, você lembra que é 1/s², então, vamos ficar com 1/s² + 1, menos, nós vimos que é transformada da função degrau unitário na verdade era, eu vou lembrar aqui vocês, mas eu vou colocar em outra cor para ficar melhor. A transformada da função degrau, eu vou colocar aqui agora. Então, a transformada de Laplace da função degrau unitário de "t" vezes uma função f(t) com deslocamentos "c", era, na verdade, igual a e⁻ᶜˢ vezes a transformada da função f(t). Se compararmos este "c" com o termo que está aqui, percebemos que o "c" é igual a 2π, então eu vou colocar aqui. Vai ficar "-e" elevado a "-2πs" vezes a função f(t), que é 1/s² + 1, e claro, chegamos neste termo aqui, porque comparamos com esta função f(t). E aqui, então, eu vou colocar para você ver o que eu fiz. Na verdade eu peguei esta parte aqui. Se você perceber, a função seno está sendo deslocada por 2π, portanto, esse camarada aqui é a mesma coisa que a função seno. Então, continuando, eu vou colocar condições iniciais, porque você pode ver que aqui temos y(0) e também a derivada no ponto zero, então eu posso colocar aqui, aliás, eu vou colocar algumas condições iniciais que vão ser y(0) = 0 e y'(0) = 0. Eu posso simplificar a minha equação cancelando isso, que vai dar zero, e também cancelando isso, que vai dar zero. E também posso colocar alguns termos em evidência, como por exemplo a transformada de "y" aqui e aqui também, e também já vou multiplicar do lado direito aqui. Então, eu vou ficar com a transformada de "y", que multiplica (s² + 4) igual a 1/s² + 1 menos "e" elevado a -2πs sobre s² + 1, Se eu dividir os dois lados da equação por s² + 4, ficamos com a transformada de "y" é igual a 1 menos "e" elevado a -2πs sobre s² + 1, Isso que multiplica (s² + 4). Podemos simplificar isso aqui para utilizar um método de frações parciais. Então eu vou colocar isso aqui vai ser igual a 1 - "e" elevado a -2πs que multiplica, vou colocar em cor diferente, que multiplica (1/(s² + 1)(s² + 4). Agora eu vou resolver isso aqui separadamente, porque eu vou utilizar o método de frações parciais. Eu não vou entrar muito em detalhes em frações parciais, apenas vou fazer o seguinte, eu vou colocar a expressão 1/(s² + 1)(s² + 4). Eu vou igualar a uma soma, e o denominador desta primeira aqui vai ser (s² + 1) e o denominador da segunda vai ser (s² + 4). Então, eu quero descobrir os numeradores. E recordando do método de frações parciais, eu posso escrever isso como (As + B) + (Cs + D). Se eu resolver essa fração aqui, eu vou ficar com (As + B)(s² + 4) mais (Cs + D)(s² + 1). Isso tudo sobre (s² + 1)(s² + 4) Eu posso ajeitar isso daqui fazendo as distributivas, e vou ficar com As³ + Bs² + 4As + 4B, e eu vou colocar a outra soma aqui embaixo. Então, Cs³ + Ds² + Cs + D, e eu posso somar toda esta expressão aqui, e já vou colocar em evidência também, fatorando, e vou ficar com: (A + C)s³ + (B + D)s² + (4A + C)s + 4B + D. Bem, e finalmente estamos com o nosso numerador, ou seja, isso aqui é igual a isto aqui. Então comparando as igualdades, se isso aqui é igual a este numerador, então, esta expressão aqui é igual a este numerador aqui. Então eu posso colocar aqui, eu só vou colocar a igualdade para você ver melhor. Eu vou colocar aqui ao lado. Então, isso aqui vai ser igual a 1/(s² + 1)(s² + 4), e claro, eu tenho que colocar o mesmo denominador aqui também. Então aqui embaixo vai ser: (s² + 1)(s²+ 4) também. Agora, se eu comparar os numeradores, eu tenho que ver os termos semelhantes. Como do lado direito eu não tenho s³, então eu sei que (A + C) vai zerar. Como eu também não tenho s² eu sei que "B + D" também vai zerar. E como eu não tenho "s" do lado direito, então "4A + C" também vai ser igual a zero. Mas, observe que 4B + D tem que ser igual a 1, então eu posso colocar algumas igualdades. Eu posso colocar que "A + C = 0" e "4A + C = 0". Se eu resolver esta equação somando, eu vou ficar com -3A = 0, o que implica que "A = 0" e também, o "C = 0". Eu posso colocar outra igualdade também aqui, que vai ser "B + D = 0" e 4B + D = 1. Se somar essas equações também, eu vou ficar com -3B = -1. E acabo chegando em um valor de "B = 1/3". Consequentemente, se "B + D = 0", então eu vou ter que o valor de "D = -B". Logo, o valor de D = -1/3. Vamos voltar de onde paramos. Então, eu posso escrever isso aqui como: 1/3 sobre (s²+1) menos 1/3 sobre (s²+4). Então eu posso continuar resolvendo a minha transformada. Vamos ter que a transformada de "y" vai ser igual a 1 menos "e" elevado a -2πs que multiplica, eu já vou ajeitar esta expressão aqui também, vou colocar aqui, então, vai ficar: 1/3 que multiplica 1 sobre (s² + 1) menos 1/6 que multiplica 2 sobre (s² + 4). Resolvendo isso aqui e aplicando distributivas, chegamos a uma transformada de "y" igual a 1/3(1/s²+1) - 1/6(2/s²+4) menos "e" elevado -2πs sobre 3, que multiplica 1/s²+1, mais, vou colocar aqui embaixo para ficar melhor, "e" elevado a -2πs sobre 6 que multiplica 2/s²+4. E agora precisamos calcular o inverso dessa transformada. Eu vou descer para ficar um pouquinho melhor. Bem, e já vimos inversas de todas essas transformadas aqui, então, vamos colocar um "y" igual a transformada disso aqui, que vai ser o sen(t). Então, vamos ter 1/3 que multiplica o sen(t) menos 1/6 vezes o sen(2t) isso porque aqui temos 2 e aqui temos 4, menos a inversa desta transformada aqui. Como já vimos, a transformada da função degrau de zero a 2π de "t" vezes a função f(t) - 2π, que significa que essa função foi deslocada em -2π unidades, então isso aqui vai ser a mesma coisa que "e" elevado a -2πs vezes a transformada da função f(t). Então, comparando isso, podemos colocar que esta parte aqui é a função degrau. Então, eu vou colocar: menos 1/3 da função degrau de zero a 2π de "t" vezes o sen(t - 2π) mais 1/6 da função degrau de zero a 2π de "t" vezes a função sen(2(t - 2π). Então eu vou circular aqui o nosso "y". Esta aqui é a nossa resposta. Deu um pouquinho de trabalho, mas se você lembra bem, as transformadas e suas inversas, isso sai bem tranquilo, além de lembrar do método de frações parciais. Enfim, pessoal, até o próximo vídeo!