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Equações diferenciais
Curso: Equações diferenciais > Unidade 3
Lição 3: Transformada de Laplace para resolver uma equação diferencialTransformada de Laplace resolve uma equação 2
Segunda parte do uso da Transformada de Laplace para resolver uma equação diferencial. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Bem, pessoal,
finalmente vamos aplicar a equação de Laplace em alguma coisa útil. Eu tenho esta equação
diferencial homogênea, que pode ser até um pouquinho frustrante, já que você pode resolvê-la
utilizando a equação característica. Então, basicamente, nós aplicamos a transformada de Laplace em todos os membros da equação e trabalhamos com toda essa álgebra aqui, ficando com esta bagunça, utilizamos transformadas de derivadas
de primeira ordem e de segunda ordem, e, por fim, chegamos
à transformada de "y", é igual a "2s + 13"
sobre "s² + 5s + 6". É daqui que a gente vai
começar a nossa aula. Basicamente, o que a gente
está querendo saber é: qual é o valor de "y"
que vai dar isto aqui? Ou melhor dizendo, qual é a transformada, a transformada de qual "y"
que vai dar isto aqui? Então, basicamente, eu quero saber qual é a transformada de -1 de "y", ou seja, a inversa da transformada. Eu vou colocar aqui. "y" vai ser igual à transformada de -1 de "2s + 13" sobre "s² + 5s +6". Então, basicamente, queremos saber como vamos levar do domínio "s"
para o domínio "t". Ou melhor dizendo, do domínio frequência
para o domínio tempo. Então, eu preciso reescrever
isso aqui de outra forma, e vamos utilizar um método que
chamamos de frações parciais. Você provavelmente viu isso
no seu Ensino Fundamental, ou em muitos casos,
até no Ensino Superior. Então, eu vou reescrever
como frações parciais. Vou colocar aqui que a transformada de "y" vai ser igual a 2s + 13 sobre, eu vou fatorar
este denominador aqui e vou reescrever assim: (s + 2) vezes (s + 3). Vou igualar isso, vou botar igual, e vou utilizar o método
das frações parciais. Então, isso vai ser igual
a um coeficiente "a", eu vou só mudar a cor aqui rapidinho. Então, vou colocar um coeficiente "a" sobre (s + 2) + b/(s + 3). Então, eu só separei aqui
os denominadores e por isso que eu coloquei
os coeficientes "a" e "b". Esse método aqui que
chamamos de frações parciais. Então, eu vou ter que
resolver esta fração, e resolvendo, você pode resolver
utilizando o M.M.C. ou qualquer método de resolução
de fração que você conheça. Então, isto vai ser igual a
As + 3A + Bs + 2B, isso tudo sobre (s + 2) vezes (s + 3). Isso vai ser igual a "2s + 13"
sobre "(s + 2)(s + 3)". Eu vou fatorar isso aqui colocando o "s"
em evidência aqui e aqui também, então, vamos ficar com: (A + B)s + 3A + 2B. Isso vai ser igual a 2s + 13. Eu só coloquei os numeradores aqui porque os denominadores são iguais e eu só quero que você
preste atenção nos numeradores. Por quê? Se você tem que esse lado esquerdo
é igual ao lado direito, então, você tem que pensar o seguinte: que o termo que está
multiplicando o "s" aqui tem que ser igual ao termo que
está multiplicando o "s" aqui. Então, eu vou colocar aqui, eu vou destacar para você ver melhor, então, eu vou destacar o A + B
e vou destacar o 2. Então você tem que perceber que
A + B é igual a 2, e 3A + 2B é igual a 13. Então, vamos chegar em um sistema,
e eu vou colocar o sistema para você ver. Eu vou descer só um pouquinho
para ficar melhor. E armando o sistema, vamos ter A + B = 2 e 3A + 2B = 13. Você pode resolver esse sistema
da maneira que você achar melhor. Então, eu vou resolver
pelo método da soma, mas primeiro eu tenho que multiplicar
a primeira equação por -2. Então, multiplicando por -2, vamos ficar com -2A - 2B = -4. E, se eu somar com a segunda equação, e aí eu posso cancelar o -2B e o +2B. Então, eu vou cancelar este cara aqui
com este cara aqui, então chegamos a um valor de A = 9 e um B = -7, então, chegamos na nossa
segunda constante. Agora, substituindo os valores de A e B
aqui e igualando à transformada, vamos ficar com: a transformada de "y" igual a 9 sobre "(s + 2)"
menos 7 sobre "(s + 3)". Eu posso reescrever
isso aqui desse jeito. Eu posso dizer que é igual a 9 que multiplica 1/(s + 2) menos 7 que multiplica 1/(s + 3). Agora, se você prestar atenção
nisso e nisso, vai te lembrar o quê? Vai te lembrar alguma transformada? Claro que lembra. Lembra a transformada de eᵃᵗ. Então, eu vou colocar aqui
para você lembrar. Eu vou colocar a transformada de eᵃᵗ. A transformada de eᵃᵗ vai ser igual a 1/(s - a). Veja se isso aqui não se parece
com isso e também com isso. O que você tem que identificar aqui,
neste caso, é o valor do ''a". Como aqui temos 2
e aqui temos 3, então, "a" aqui vai valer -2
e "a" aqui vai valer -3, então, podemos reescrever esta parte aqui
de outra maneira. Eu vou dar só mais uma descidinha
para ficar mais espaçoso. Então eu vou colocar que a transformada de "y" vai ser igual a 9 vezes a transformada de e⁻²ᵗ menos 7 vezes a transformada e⁻³ᵗ. Aqui ficou -2t e aqui -3t porque eu comparei esta expressão aqui com esta aqui e com esta aqui, e determinei os valores de "a"
igual a -2 e -3. Então, podemos reescrever isso como: a transformada de 9e⁻²ᵗ - 7e⁻³ᵗ. E como a transformada
é um operador linear, podemos dizer que os termos entre chaves são iguais. Então, chegamos à conclusão que "y = 9e⁻²ᵗ - 7e⁻³ᵗ. Enfim, pareceu um pouquinho complicado, mas você acaba pegando o jeito. E você deve se perguntar por que
eu fiz isso pela transformada, mas você tem que pensar que,
em situações mais complicadas, a transformada vai ser
mais útil para você. Enfim, pessoal,
até o próximo vídeo!