Transformada de Laplace resolve uma equação 2

RKA8JV - Bem, pessoal, finalmente vamos aplicar a equação de Laplace em alguma coisa útil. Eu tenho esta equação diferencial homogênea, que pode ser até um pouquinho frustrante, já que você pode resolvê-la utilizando a equação característica. Então, basicamente, nós aplicamos a transformada de Laplace em todos os membros da equação e trabalhamos com toda essa álgebra aqui, ficando com esta bagunça, utilizamos transformadas de derivadas de primeira ordem e de segunda ordem, e, por fim, chegamos à transformada de "y", é igual a "2s + 13" sobre "s² + 5s + 6". É daqui que a gente vai começar a nossa aula. Basicamente, o que a gente está querendo saber é: qual é o valor de "y" que vai dar isto aqui? Ou melhor dizendo, qual é a transformada, a transformada de qual "y" que vai dar isto aqui? Então, basicamente, eu quero saber qual é a transformada de -1 de "y", ou seja, a inversa da transformada. Eu vou colocar aqui. "y" vai ser igual à transformada de -1 de "2s + 13" sobre "s² + 5s +6". Então, basicamente, queremos saber como vamos levar do domínio "s" para o domínio "t". Ou melhor dizendo, do domínio frequência para o domínio tempo. Então, eu preciso reescrever isso aqui de outra forma, e vamos utilizar um método que chamamos de frações parciais. Você provavelmente viu isso no seu Ensino Fundamental, ou em muitos casos, até no Ensino Superior. Então, eu vou reescrever como frações parciais. Vou colocar aqui que a transformada de "y" vai ser igual a 2s + 13 sobre, eu vou fatorar este denominador aqui e vou reescrever assim: (s + 2) vezes (s + 3). Vou igualar isso, vou botar igual, e vou utilizar o método das frações parciais. Então, isso vai ser igual a um coeficiente "a", eu vou só mudar a cor aqui rapidinho. Então, vou colocar um coeficiente "a" sobre (s + 2) + b/(s + 3). Então, eu só separei aqui os denominadores e por isso que eu coloquei os coeficientes "a" e "b". Esse método aqui que chamamos de frações parciais. Então, eu vou ter que resolver esta fração, e resolvendo, você pode resolver utilizando o M.M.C. ou qualquer método de resolução de fração que você conheça. Então, isto vai ser igual a As + 3A + Bs + 2B, isso tudo sobre (s + 2) vezes (s + 3). Isso vai ser igual a "2s + 13" sobre "(s + 2)(s + 3)". Eu vou fatorar isso aqui colocando o "s" em evidência aqui e aqui também, então, vamos ficar com: (A + B)s + 3A + 2B. Isso vai ser igual a 2s + 13. Eu só coloquei os numeradores aqui porque os denominadores são iguais e eu só quero que você preste atenção nos numeradores. Por quê? Se você tem que esse lado esquerdo é igual ao lado direito, então, você tem que pensar o seguinte: que o termo que está multiplicando o "s" aqui tem que ser igual ao termo que está multiplicando o "s" aqui. Então, eu vou colocar aqui, eu vou destacar para você ver melhor, então, eu vou destacar o A + B e vou destacar o 2. Então você tem que perceber que A + B é igual a 2, e 3A + 2B é igual a 13. Então, vamos chegar em um sistema, e eu vou colocar o sistema para você ver. Eu vou descer só um pouquinho para ficar melhor. E armando o sistema, vamos ter A + B = 2 e 3A + 2B = 13. Você pode resolver esse sistema da maneira que você achar melhor. Então, eu vou resolver pelo método da soma, mas primeiro eu tenho que multiplicar a primeira equação por -2. Então, multiplicando por -2, vamos ficar com -2A - 2B = -4. E, se eu somar com a segunda equação, e aí eu posso cancelar o -2B e o +2B. Então, eu vou cancelar este cara aqui com este cara aqui, então chegamos a um valor de A = 9 e um B = -7, então, chegamos na nossa segunda constante. Agora, substituindo os valores de A e B aqui e igualando à transformada, vamos ficar com: a transformada de "y" igual a 9 sobre "(s + 2)" menos 7 sobre "(s + 3)". Eu posso reescrever isso aqui desse jeito. Eu posso dizer que é igual a 9 que multiplica 1/(s + 2) menos 7 que multiplica 1/(s + 3). Agora, se você prestar atenção nisso e nisso, vai te lembrar o quê? Vai te lembrar alguma transformada? Claro que lembra. Lembra a transformada de eᵃᵗ. Então, eu vou colocar aqui para você lembrar. Eu vou colocar a transformada de eᵃᵗ. A transformada de eᵃᵗ vai ser igual a 1/(s - a). Veja se isso aqui não se parece com isso e também com isso. O que você tem que identificar aqui, neste caso, é o valor do ''a". Como aqui temos 2 e aqui temos 3, então, "a" aqui vai valer -2 e "a" aqui vai valer -3, então, podemos reescrever esta parte aqui de outra maneira. Eu vou dar só mais uma descidinha para ficar mais espaçoso. Então eu vou colocar que a transformada de "y" vai ser igual a 9 vezes a transformada de e⁻²ᵗ menos 7 vezes a transformada e⁻³ᵗ. Aqui ficou -2t e aqui -3t porque eu comparei esta expressão aqui com esta aqui e com esta aqui, e determinei os valores de "a" igual a -2 e -3. Então, podemos reescrever isso como: a transformada de 9e⁻²ᵗ - 7e⁻³ᵗ. E como a transformada é um operador linear, podemos dizer que os termos entre chaves são iguais. Então, chegamos à conclusão que "y = 9e⁻²ᵗ - 7e⁻³ᵗ. Enfim, pareceu um pouquinho complicado, mas você acaba pegando o jeito. E você deve se perguntar por que eu fiz isso pela transformada, mas você tem que pensar que, em situações mais complicadas, a transformada vai ser mais útil para você. Enfim, pessoal, até o próximo vídeo!