Resolvendo uma equação através da transformada de Laplace

RKA7MP - E aí, pessoal? Vamos utilizar agora a transformada de Laplace no conceito de equações diferenciais. Eu vou colocar a equação diferencial aqui que vai ser a derivada de segunda ordem de "y" mais 5 vezes a derivada de primeira ordem, mais 6 vezes a função igual a zero e com condições iniciais "y" de zero igual a 2 e "y" linha de zero igual a 3. Você pode até olhar para esta equação diferencial homogênea e querer utilizar a equação característica. Tudo bem, você pode utilizar a equação característica mas eu vou resolvê-la utilizando a transformada para você ver a utilidade da transformada em equações diferenciais. Vamos fazer o seguinte, vamos aplicar a transformada em ambos os lados da equação e aí ficamos com a transformada da derivada de segunda ordem, mais 5 vezes a transformada da derivada de primeira ordem de "y", mais 6 vezes a transformada de "y". Isto vai ser igual a zero, porque se eu aplicar a transformada dos dois lados, você se lembra que a transformada de zero, na verdade, é, eu vou colocar aqui que a integral de zero a infinito, de zero vezes e⁻ˢᵗ dt é igual a zero. Por isso que eu posso colocar o zero aqui. E eu vou colocar o zero aqui. Outra coisa que eu quero que você perceba é que a transformada da derivada que a gente já viu em vídeos passados era a transformada da derivada igual a "s" vezes a transformada de "y" menos "y" de zero. E substituindo isto, nós vimos também que poderíamos criar um padrão. Então, ficamos com "s" vezes a transformada da derivada de primeira ordem de "y", menos a derivada no ponto zero, mais 5 vezes a transformada da derivada de primeira ordem, mais 6 vezes a transformada de "y", igual a zero. Eu quero que você perceba, eu vou sublinhar para você ver, que isto aqui é a mesma coisa que isto aqui. E quem é a transformada da derivada de primeira ordem? A gente viu aqui. Isto vai ficar "s" vezes "s", vezes a transformada de "y" menos "y" de zero, menos "y" linha de zero, mais 5 vezes a transformada da derivada, mas como eu já expliquei para vocês, a transformada da derivada é esta aqui, eu vou substituir direto. Então, ficamos com 5 vezes "s", vezes a transformada de "y" menos "y" de zero, mais 6 vezes a transformada de "y", igual a zero. Eu vou mudar de cor para você ver, basicamente, o que eu fiz foi organizar isto. Então, isto aqui é a mesma coisa que isto aqui. E esta parte é a mesma coisa que esta. Organizando, vamos ficar com s² vezes a transformada de "y", menos 2s, menos 3, mais 5s vezes a transformada de "y" isto menos 10, mais 6 vezes a transformada de "y", igual a zero. Basicamente, o que eu fiz foi substituir as condições iniciais, "y" de zero é igual a 2, e "y" linha de zero é igual a 3. Eu substitui aqui e resolvi, já ajeitando para chegar a esta parte. E eu posso fatorar a expressão, e vou colocar em evidência os termos que eu vou sublinhar para você ver, e eu posso colocar estes termos, são todos termos que têm fatores comuns, que é transformada de "y", eu posso colocar a transformada de "y" em evidência, e vou ficar com a transformada de "y" que multiplica s² mais 5s mais 6, e reescrevendo o restante, ficamos com -2s menos 3, menos 10, igual a zero. E se eu ajeitar estes termos somando 2s dos dois lados, se eu juntar isto vai dar -13, se eu somar 13 dos dois lados, eu vou ficar com a transformada de "y" vezes s² mais 5s, mais 6, isto vai ser igual a 2s mais 13. E seu dividir ambos os membros da equação por s² mais 5s, mais 6, eu vou acabar achando a transformada de "y". Eu vou colocar que a transformada de "y" vai ser igual a 2s mais 13, sobre s² mais 5s, mais 6. Nas próximas aulas, eu vou ensinar vocês a achar a inversa da transformada que vai ser a solução desta equação. Enfim, pessoal, até o próximo vídeo.