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Equações diferenciais
Curso: Equações diferenciais > Unidade 3
Lição 3: Transformada de Laplace para resolver uma equação diferencialUsando a Transformada de Laplace para resolver uma equação não homogênea
Resolvendo uma equação diferencial não homogênea usando a Transformada de Laplace. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA14C Faz um tempo que eu fiz
a primeira lista de vídeos de equações diferenciais. Neste vídeo, vou resolver uma
equação linear não homogênea usando a Transformada de Laplace. Então, primeiro vamos
fazer um aquecimento, porque já faz um tempo que
não falamos sobre esse assunto. Vamos dizer que eu tenho
a seguinte equação, vamos dizer que eu tenho: y" + y = sen 2t. Também temos
as condições que y(0) = 2, e que o y'(0) = 1. Bom, para resolver, usaremos
a Transformada de Laplace dos dois lados. Além disso, usaremos
a Transformada de Laplace inversa. Vamos fazer isso, então. Vamos ver que isso vai ficar
um pouco mais claro conforme formos fazendo. Bom, nos últimos vídeos,
eu mostrei para você a Transformada de Laplace (L)
da segunda derivada de y. A Transformada de Laplace
da segunda derivada de y... Vamos fazer aqui. ...da segunda derivada de y é s²... Então, isto aqui é igual a: s² vezes L{y} menos sy(0) menos y'0. Ou seja, a Transformada de Laplace
da nossa segunda derivada será isso que eu acabei de
marcar aqui em rosa. Bom, a gente pode reescrever
essa expressão grande porque isso é uma questão de notação. Eu poderia escrever tudo
isso como sendo: s² vezes Y(s) menos sy(0) menos y'(0). Bom, aqui nestes dois lugares,
eu tenho números, certo? Tenho y(0) e y'(0). Isso que eu tenho aqui
não são funções. Sabemos quais são esses valores, temos aqui as nossas
condições iniciais, y'(0) = 2... Perdão, y(0) = 2. E y'(0) = 1. Bom, primeiro vamos pegar
a Transformada de Laplace daquele primeiro termo y", ou seja, a segunda derivada de y. Então, fazendo isso, tenho: s² vezes Y(s) menos 2s. Substituímos aqui
esse valor de y(0) por 2, que é o valor da
nossa condição inicial. Isso tudo menos -1. Agora, fazendo aqui
em uma cor diferente, eu vou ter mais Y(s)... Para você não se confundir,
esse Y(s)... Vamos fazer aqui,
vou fazer aqui do lado. A Transformada de Laplace
de y é esse Y(s), que eu marquei aqui. Vou deixar aqui do lado para
a gente não se confundir. Bom, agora isso aqui. Ao que isso será igual? Bom, isso vai ser igual
a L. Para você se lembrar, nós já vimos
a Transformada de Laplace de seno de a vezes t. L = a / s² + a². Então, L = 2 / s² + 4. E, aqui deste lado,
posso simplesmente colocar 2 / s² + 4. Bom, o que podemos
fazer agora é separar todos os nossos termos de Y(s), e fatorar os seus coeficientes. Fazendo isso... Bom, vamos continuar com
a cor que estava antes e pegar um pouco mais de espaço. Vamos continuar, então. Fazendo isso... Vamos fatorar,
então, temos: (s² + 1), aqui é como se eu estivesse
colocando em evidência, vezes Y(s), que é o nosso... Vamos fazer em uma cor
diferente esse Y(s). Vamos deixar na cor
que colocamos aqui. Então, vezes Y(s). O restante, podemos
adicionar ao 2s + 1. Eu posso fazer isso
dos dois lados, mas primeiro eu vou
fazer por partes para a gente não se confundir. Então, isto aqui... Eu ainda tenho... Vamos fazer aqui
de uma outra cor. Eu ainda tenho aqui
menos 2s - 1, e tudo isso é igual a
2 / s² + 4. Como eu disse antes,
podemos adicionar 2s + 1 dos dois lados para cancelarmos este
2s + 1 que temos aqui. Então, fazendo isso, continuando com as mesmas cores
com que fizemos antes, temos: (s² + 1) vezes Y(s), que vai ser igual a
2 / s²... Perdão, mais 4, e aqui mais 2s + 1. Agora podemos dividir ambos
os lados da nossa equação por s² + 1. Assim, obtemos a Transformada
de Laplace de y. Então, fazendo aqui,
eu tenho Y... Vamos fazer aqui: Y(s) = 2 / (s² + 4), isso vezes (s² + 1). E eu tenho ainda mais: 2s / s² + 1. E, aqui, mais 1 / s² + 1. Bom, eu preciso agora
de uma fração simples. Vou fazer uma decomposição em partes, em frações parciais para
conseguirmos essas frações simples. Essa é a parte mais difícil
do nosso problema. Vamos fazer isso, então. Vamos quebrar
o nosso (s² + 4) vezes (s² + 1). Se vamos fazer isso... Bom, aqui, em uma cor diferente, eu tenho que quebrar
esse 2 / (s² + 4) vezes (s² + 1). Eu tenho que quebrar isso
em duas frações. Uma fração em que eu tenha
s² + 4 no denominador, e outra em que eu tenha
s² + 1 no denominador. Se os denominadores
são de grau 2, o numerador deve ser
de grau 1. Eu poderia escrever isso
como sendo: As + B, Cs + D. Bom, agora eu preciso encontrar os valores de A, B, C e D. Se eu começar somando
essas frações, vamos ver o que eu tenho. Eu vou fazer aqui embaixo
para termos bastante espaço. Então, fazendo aqui de verde,
eu tenho... Somando essas duas frações,
eu teria: (As + B) vezes (s² + 1), isso mais (Cs + D) vezes (s² + 4). E o meu denominador vai ser: (s² + 4) vezes (s² + 1). Bom, vamos multiplicar
tudo isso, então. Multiplicando tudo isso, eu vou fazer aqui de um jeito
que você consiga entender, escrito de forma que você consiga
entender bem o que está acontecendo. Então, teríamos: As³ + As + Bs² + B. A nossa segunda multiplicação seria: Cs³ + 4Cs + Ds² + 4D. Bom, eu escrevi desse jeito para você entender bem
a questão dos graus aqui. Agora, se eu somasse
todos os numeradores, eu teria então aqui... Vamos colocar o s³ em evidência. Então, temos: (A + C) vezes s³, mais (B + D) vezes s², mais (A + 4C) vezes s, mais (B + 4D). Isso é só o nosso numerador. Vou até marcar aqui. Isso é o numerador. "Numerador". Ainda não falamos do denominador. Bom isso, como eu disse,
isso é o numerador. Aqui embaixo, vou escrever... Eu vou fazer em verde
como fizemos antes. Isto aqui é sobre o nosso denominador, que é (s² + 4)
vezes (s² + 1). Bom, e isso...
Vou fazer aqui do lado. Isso vai ser igual a: 2 / (s² + 4) vezes (s² + 1). Isso tudo é igual a
isto tudo aqui. Você deve estar
se perguntando por que eu fiz toda essa confusão. Bom, desse jeito,
conseguimos resolver. Conseguimos encontrar
os valores de A, B, C e D. Então, vamos fazer...
Vou pegar mais espaço. Vamos dizer que eu tenha A + C = 0. Mas por que será igual a zero? Porque não temos um coeficiente s³
no nosso numerador. Então, A + C = 0. Perceba que isso vai acontecer
também onde temos s² e onde temos o s. Então, A + C = 0. Também podemos dizer
que B + D = 0 porque não temos s². Agora, temos A + 4C, que são coeficientes de s. Então, A + 4C. Mas também não temos s
no numerador. Logo, A + 4C = 0. Agora, o que sobraram foram
os termos constantes que temos. B + 4D. B + 4D vai ser igual ao valor
que temos no numerador, que é o valor 2. Então, B + 4D = 2. Bom, agora fica fácil,
só precisamos subtrair. Vou fazer A + C
menos A + 4C. Então, a gente tem aqui -3C = 0, logo, C = 0. Bom, se C = 0, temos que A + C = 0 e A = 0. Então, A = 0. Agora vamos resolver aqui. B + D = 0. B + 4D = 2. Fazendo essa conta,
temos zero. B - B = 0, menos 3D, igual a -2, estou subtraindo. Então, temos aqui
D = 2/3. D vai ser igual a 2/3. Para sabermos o valor de B,
só precisamos substituir. Então, podemos fazer: B + D = 0, B = -D... Então, B = -2/3. Bom, temos os nossos valores. Depois de muito trabalho, conseguimos
encontrar os nossos valores. Conseguimos encontrar o valor de B
e o valor de D. Agora que fizemos isso, vamos voltar
ao nosso problema original. Podemos escrever, então... Vamos pegar espaço aqui. Podemos escrever,
então, como sendo: 2 / (s² + 4) vezes (s² + 1), igual a -2/3 / s² + 4, mais 2/3 / s² + 1. Tudo isso que eu fiz aqui
foi para quebrar esse 2 / (s² + 4) vezes (s² + 1). Depois que fizemos tudo isso, o que temos, então? Temos que voltar lá ao nosso Y(s). Então, vamos fazer aqui embaixo. Vamos fazer aqui na cor com
a qual estávamos fazendo antes. Y(s) = -1/3 vezes (2 / s² + 4)... Essa é a nossa primeira
Transformada de Laplace, que é L. ...mais 2/3 vezes (1 / s² + 1). Essa é a nossa L. Vou até marcar aqui. Seno de t, perdão. E, aqui, seno de 2t. Bom, isso foi o nosso primeiro termo. Ainda temos mais
dois termos para somar. Então, aqui ainda temos mais: 2 vezes (s / s² + 1), mais 1 / s² + 1. Se pegarmos a Transformada
de Laplace inversa de tudo, saberemos o que é Y. Eu vou fazer umas anotações
para não nos confundirmos. Vou fazer aqui em azul. Tenho L como sendo
a / s² + a². E tenho L como sendo
s / s² + a². Bom, vamos lá! A Transformada de Laplace
da inversa de y é y. Eu vou escrever aqui como sendo y(t). Vou marcar, vou fazer em rosa. y(t) = -1/3 vezes sen 2t mais 2/3 vezes sen t. Agora, eu vou usar L. Então, temos: mais 2 cos t mais sen t. Isso é a Transformada
de Laplace de sen t. Bom, podemos fazer mais
algumas simplificações. Podemos somar 2/3 sen t
com sen t. Então, teríamos 2/3 + 1. Isso seria y(t) = -1/3 vezes sen 2t, mais...
2/3 + 1 = 5/3. ...5/3 vezes sen t, mais 2 cos t. Bom, esse foi um problema bem difícil. Levamos bastante tempo
para conseguir resolver. Mas você pode perceber
que no final encontramos uma resposta bem bonita para um problema que
foi bem complicado. Utilizamos álgebra principalmente, foi um bom jeito de relembrarmos
as equações diferenciais!