Transformada de Laplace 1

RKA4JL - Com certeza, esse é um dos conceitos mais úteis que você pode aprender, não somente em equações diferenciais como em matemática em um todo. Na área de engenharia você vai descobrir que a transformada de Laplace vai lhe ajudar a resolver equações diferenciais e transformar funções ou forma de onda do domínio do tempo para o domínio da frequência. E é claro, ajudar a estudar e compreender um conjunto de fenômenos. Nós agora não vamos falar de tudo isso. Eu só vou te ensinar o que é uma transformada de Laplace neste vídeo. Nos próximos vídeos eu vou te mostrar como pode ser útil utilizar essa transformada de Laplace para resolver equações diferenciais em problemas cada vez mais difíceis. Enfim, o que é transformada de Laplace? Para começar, a anotação dela é um "L". Então vamos dizer que eu quero fazer a transformada de Laplace de uma função qualquer, que eu vou chamar aqui f(t). A razão disso é porque em um monte de equações diferenciais em engenharia você vai converter uma função de tempo em uma função de frequência. Mas não vamos nos preocupar com isso agora. A transformada de Laplace de uma função de t transforma essa função em uma outra função de s. Então eu tenho isso aqui me dando uma função de s. Então vou colocar aqui f(s). E como ela faz isso? Do jeito que eu vejo é como se fosse uma função de funções. Uma função vai te levar a um conjunto de alguma coisa em que você vai estar mexendo, por exemplo um conjunto de números para um outro conjunto de números. Uma transformada vai levar de um conjunto de funções a outro conjunto de funções. Definindo isso a gente tem que a transformada de Laplace (deixe-me fazer aqui em uma outra cor) a transformada de Laplace de uma função f(t) vai ser igual, então, à integral, que vai de zero até infinito, de "e" elevado a (-st) e isso aqui vezes f(t) vezes dt. Isso pode parecer meio confuso, mas eu vou fazer alguns exemplos. Vamos dizer que f(t) aqui é igual a 1. Então eu vou querer a transformada de Laplace de 1. Isso vai ser igual à nossa integral de zero até infinito de "e" elevado a (-st) vezes dt. Eu escrevi aqui do mesmo modo que eu coloquei em cima. Eu coloquei, aqui no lugar de f(t), coloquei 1. E então aqui a gente tem, na segunda parte, só dt. Como vou multiplicar por 1, isso vai ser igual a dt. Agora vamos lidar com esta integral. Essa nossa integral vai ser igual ao limite... Vamos colocar aqui "limite", vamos dizer que de "A tendendo até o infinito" e a gente tem aqui a integral de zero até A e a gente tem isso aqui vezes "e" elevado a (-st) dt. Essas coisas são iguais e você obviamente não consegue avaliar o infinito, mas você pode pegar o limite se aproximando do infinito. Vamos, então, resolver esse problema com essa integral imprópria. Isso vai ser, então, o limite de A tendendo ao infinito de... Então eu tenho aqui (-1 sobre s) "e" elevado a (-st), e aqui eu tenho de zero até A. Isso vai ser o limite, então igual ao limite de A tendendo ao infinito de (-1 sobre s) "e" elevado a (-sA) menos (-1 sobre s). E vamos fechar os colchetes. O que acontece quando t é igual a zero? Quando t é igual a zero eu tenho (-1 sobre s). Isso então vai ser o limite de A tendendo ao infinito de (-1 sobre s) "e" elevado a (-sA) e aqui eu tenho menos com menos, então mais (1 sobre s). Agora qual vai ser o limite quando A se aproxima do infinito? Conforme A se aproxima do infinito, o expoente s, se for maior do que zero, esse termo que a gente tem aqui vai se tornar zero, certo? Na realidade vai ser um valor muito, muito, muito pequeno. Você pode jogar no google para ver isso. Então esse termo que a gente tem aqui, (1 sobre s) "e" elevado a (-sA) vai ser próximo de zero. Então nós vamos ter só 1 sobre s. Acreditem: esse é um momento muito significante para a sua vida. Você foi submetido a sua primeira transformada de Laplace. Eventualmente eu mostrar alguns vídeos, algumas tabelas da transformada de Laplace e nós vamos provar todas elas. Mas por enquanto vamos falar das mais básicas. Destacando o que a gente acabou de fazer, a transformada de Laplace de 1 (deixe-me fazer em uma outra cor) a transformada de Laplace de 1 vai ser igual a 1 sobre s. Note que nós fomos uma função de t para uma função de s. Até o próximo vídeo!