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Studying for a test? Prepare with these 4 lessons on Transformada de Laplace.
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Transcrição de vídeo
Continuemos com algumas transformadas de Laplace. É bom ver de onde vêm as várias tabelas de transformadas de Laplace que você verá mais adiante, e isso também o deixará mais à vontade com a matemática. Que na verdade seria como o seu segundo semestre de cálculo, mas ficará à vontade com uma noção completa do que estamos fazendo. Em primeiro lugar, vamos apenas reescrever a definição da transformada de Laplace. É o L de Laverne & Shirley. A transformada de Laplace de alguma função de t é igual à integral imprópria de zero até o infinito de <i>e</i> elevado a menos st multiplicado por nossa função. Vezes nossa função de t, e isso é em relação a dt. Façamos outra transformada de Laplace. Digamos que queremos obter a transformada de Laplace-- e agora nossa função f de t, digamos que seja <i>e</i> elevado a at. Transformada de Laplace de <i>e</i> elevado a at. Bem, vamos substituir isto na definição da transformada de Laplace. E será igual a... Isto será bom para praticarmos integração. Especialmente integração por partes. Quase todos os problemas de transformada de Laplace se torna um problema de integração por partes. Que, como aprendemos há tempos, integração por partes é só a regra do produto reverso. De qualquer forma. Isto é igual à integral de zero ao infinito. <i>e</i> elevado a menos st vezes <i>e</i> à at, certo? Essa é nossa f de t. dt. Bem, isto é igual a soma dos expoentes, pois temos a mesma base. A integral de zero ao infinito de <i>e</i> elevado a <i>a</i> menos s t dt. E qual a anti derivada disto? É igual ao que? Em relação ao C. É igual a-- a menos s, será uma constante, certo? Então podemos deixar isto do lado de fora. 1/a menos s vezes <i>e</i> elevado a <i>a</i>, menos st. E iremos calcular isso de t igual ao infinito ou o limite quando t se aproxima do infinito até t igual a zero. E eu poderia por isto dentro dos colchetes, mas é um termo constante, correto? Nenhum deles tem t, então posso colocá-los de fora. Então isto será 1/a menos s vezes-- agora temos essencialmente que calcular t no infinito. Qual o limite no infinito? Bem, temos dois casos aqui certo? Se este expoente-- se este a menos s é um número positivo, se <i>a</i> menos s é maior que zero, o que irá acontecer? Bem, quando aproximamos do infinito, <i>e</i> ao infinito fica cada vez maior, certo? Por ser <i>e</i> a um expoente infinitamente positivo. Assim, não obtemos uma resposta. Quando você faz uma integral imprópria, quando você toma o limite ao infinito e ele não resulta em um número finito, O limite não se aproxima de nada, isso significa que a integral imprópria diverge. E então não há limite. E de certa forma, podemos dizer que a transformada de Laplace não é definida para <i>a</i> menos s maior do que zero, ou quando a é maior do que s. Agora, o que acontece se a menos s é menor que zero? Bem, teremos algum número negativo aqui, certo? Então, se elevamos <i>e</i> a um número infinitamente negativo, ele irá se aproximar de alguma coisa. Se aproxima de zero. E nós vimos isso no vídeo anterior. E espero que entenda o que digo, certo? <i>e</i> à um número infinitamente negativo se aproxima de zero, enquanto <i>e</i> a um número infinitamente positivo é infinito. Isso não converge para coisa alguma. De qualquer forma. Se assumo que a menos s é menor que zero, ou que a é menor que s, e essa é a suposição que farei, de modo que esta integral impropria converge a alguma coisa. Então se <i>a</i> menos s é menor que zero, e é um número negativo, <i>e</i> elevado a <i>a</i> menos s vezes-- bem t, onde t se aproxima do infinito será zero. Menos essa integral calculada em zero. O que acontece quando calcula isto em zero? T iguala zero. Tudo isto se torna <i>e</i> à zero que é um. E sobra o que? Menos 1/a menos s. Que é a mesma coisa que 1/s menos a. Então temos a próxima entrada em nossa tabela de transformadas de Laplace. E esta é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de <i>e</i> a at é igual a 1/s menos a, desde que façamos a suposição de que s é maior que a. Isto é verdade quando s é maior que a, ou a é menor que s. Tanto faz. Então, essa é a segunda entrada na tabela de transformadas de Laplace. Fascinante. Na verdade, vamos relacionar isto com a entrada anterior em nossa tabela de transformadas, certo? Qual foi a primeira entrada em nossa tabela de transformadas de Laplace? Foi a transformada de Laplace de um igual a 1/s, certo? Bem, um não é a mesma coisa que <i>e</i> elevado a zero? Assim, poderíamos ter dito que isto é-- Eu sei estou ficando sem espaço, mas farei aqui em roxo. Poderíamos ter dito que a transformada de Laplace de um é o mesmo que <i>e</i> a zero vezes t, certo? E isso é igual a 1/s. E felizmente é bom ver que isso é consistente. Na verdade, lembre-se, nós até fizemos a condição quando s é maior que zero, certo? Assumimos que s é maior que zero neste exemplo. Aqui de novo, você diz que s é maior que zero. Isto é completamente consistente com este, não é? Pois se a é igual a zero, então a transformada de Laplace de <i>e</i> a zero é simplesmente 1/s menos zero. Isto resulta em 1/s E temos que assumir que s é maior que zero. Então estas são meio que a mesma entrada em nossa tabela de transformadas de Laplace. Mas é sempre bom em matemática quando vemos que dois resultados que obtemos tentando fazer problemas diferentes, estão, de certa forma, conectados ao mesmo resultado. De qualquer maneira, verei você no próximo vídeo e vamos continuar a construir nossa tabela de transformadas de Laplace. Talvez em três ou quatro vídeos, mostrarei como essas transformadas são extremamente úteis na solução de todo tipo de equações diferenciais. Até logo. Legendado por: [Laércio Junior] Revisado por: [Rodrigo Melges]