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Studying for a test? Prepare with these 4 lessons on Transformada de Laplace.
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Continuemos a construir nossa tabela de transformadas de Laplace. Agora, faremos um problema bem cabeludo, então terei que me concentrar para que eu não faça nenhum erro bobo. Mas digamos que queremos tirar a transformada de Laplace-- e esta é bem útil. Na verdade, todas que fizemos até agora são úteis. Eu avisarei quando fizermos umas não tão úteis. Digamos que queremos tirar a transformada de Laplace da função seno de alguma constante vezes t. Bem, nossa definição de transformada de Laplace, que diz que é a integral imprópria. E lembrem-se, a transformada de Laplace é somente uma definição. É apenas uma ferramenta que acabou por ser extremamente útil. E nós faremos mais nesse sentido em seguida. Mas, de qualquer forma, é a integral de zero a infinito de "e" elevado a menos "st", vezes-- sempre que estivermos tirando a transformada de Laplace de-- vezes seno de "at", "dt". E agora, temos que voltar e achar nossa integração por partes. E a minha sempre desaparece, então temos de provar novamente a integração por partes. Não recomendo que faça isso o tempo todo. Se tiver que fazer isso em um teste, você talvez queira decorar antes dele. Mas sempre se lembrem, integração por partes é apenas a regra do produto invertida. Então, farei isso neste canto. Então, a regra do produto nos diz que, se nós temos duas funções, "u" vezes "v". E, se nós fôssemos tirar a derivada de "u" vezes "v". Digamos que elas são funções de "t". Ambas são funções de "t". Eu poderia ter escrito "u" de "x" vezes "u" de "x". E isso é igual à derivada da primeira vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda. Agora, se eu fosse integrar ambos os lados, eu teria "uv"-- isto deveria ser uma revisão-- é igual à integral de "u linha" vezes "v" em "dt"-- mas eu estou fazendo meio rápido agora-- mais a integral de "u" vezes "v linha". Eu estou tentando me lembrar disto aqui. E vamos pegar isto subtrair de ambos os lados. Então, temos esta integral de "u linha" vezes "v" será igual a isto, "uv" menos a integral de "u" vezes "v linha". E, claro, isto é uma função de "t". Há um "dt" aqui e tudo mais. Mas eu tenho que fazer isso no canto da página direto, porque sempre esqueço isso, e com todas as linhas e as integrais e tudo mais, eu sempre me esqueço. De uma forma, se você realmente quisesse decorar, você diz OK, a integração por partes diz que, se eu pego a integral da derivada de algo e então somente uma função qualquer de outra, isso é igual a duas funções multiplicadas entre si, menos a integral do contrário. Certo? Aqui, quando se faz a subtração, você tá pegando a que tem uma derivada, e agora não tem. E a que não tinha derivada, agora tem. Mas, de qualquer forma, vamos aplicar isto ao nosso problema atual, este aqui. Bem, nós poderíamos fazer de ambas as formas. Vamos fazer "u linha" é igual a-- faremos nossa definição-- "u linha" é igual a "e" elevado a menos "st", em cujo caso "u" seria a antiderivada disto, o que é igual a menos 1 sobre "s" vezes "e" elevado a menos "st", certo? E, na verdade, isto será um problema em que se usa a integração por partes duas vezes, então eu só irei definir a transformada de Laplace como "y". Isto será útil mais pra frente. E eu acho que fiz um exemplo bem similar a este quando vimos integração por partes. Mas, de qualquer forma, de volta à integração por partes. Então, este é "u". E deixa eu fazer "v" em uma outra cor. Então, quando "v"-- se isto é "u linha", certo? Isto é "u linha", então isto é "v". Então, "v" é igual a seno de "at". E, então, o que é "v linha"? Bem, é somente o cosseno de "at", certo? A regra da cadeia. E, agora, estamos prontos para nossa integração. Então, a transformada de Laplace, e eu apenas direi que é "y", "y" é igual a-- "y" é no que estamos tentando resolver, a transformada de Laplace de seno de "at"-- isto é igual a "u linha" vezes "v". Eu defini "u linha" em "v", certo? São iguais. A integral de "u linha" vezes "v". Isto é igual a "uv". Então, isto é menos 1 sobre "s" vezes "e" elevado a menos "st", vezes "v" vezes seno de "at", menos a integral. E, quando fizer a integração por partes, isto poderia ser uma integral indefinida, uma integral imprópria, uma integral definida, tanto faz. Mas os limites ficam. E nós podemos ainda dizer, de 0 a infinito de "u" vezes "v linha". Então, "u" é menos 1 sobre "s" vezes "e" elevado a menos "st", vezes "v linha", vezes o cosseno de "at"-- é justo-- "dt". Agora, temos outra integral cabeluda que precisamos resolver. Então, isto deve envolver outra integração por partes, e envolve. Vejamos se conseguimos simplificar isso tudo. Tiremos as constantes primeiramente. Deixe-me reescrever isto. Então, temos "y" é igual a menos "e" elevado a menos "st" sobre "s", seno de "at". Então, você tem um menos menos, é mais, "a" sobre "s"-- "a" dividido por "s", e, então, estes dois sinais negativos se cancelam-- vezes a integral de 0 a infinito, "e" elevado a menos "st", cosseno de "at", "dt". Façamos outra integração por partes. E eu farei em roxo, para que saibam que é nossa segunda integração por partes. Aqui. Definamos mais uma vez, "u linha" é igual a "e" elevado a menos "st". Então, isto é "u linha". Então, "u" é igual a menos 1 sobre "s" vezes "e" elevado a menos "st". Faremos "v" igual a cosseno de "at". A parte mais difícil disto é não fazer erros bobos. Então, "v linha"-- eu só quero deixar na mesma linha-- é igual a menos "a" seno de "at", certo? A regra da cadeia, derivada do cosseno é menos seno. Então, vamos voltar e substituir, e teremos-- isto vai ficar cabeludo; na verdade, já tá cabeludo-- "y" é igual a menos "e" elevado a menos "st" sobre "s", seno de "at", mais "a" sobre "s", vezes-- OK. Integração por partes. "uv". Então, este menos 1 sobre "s" vezes "e" elevado a menos "st", vezes "v", vezes cosseno de "at", menos a integral de 0 a infinito. Este problema está me deixando com fome. Tá tirando muita glicose do meu sangue. Estou me concentrando tanto em não fazer erros bestas. Enfim, integral de 0 a infinito. E, agora, nós temos "uv linha", então "u" é menos 1 sobre "s" vezes "e" elevado a menos "st". Isto é "u". E, então, "v linha" vezes menos "a". Então, façamos este menos se cancelar com este outro. Para que vire um mais. "a" seno de "at", "dt". Estou começando a ver a luz no fim do túnel. Então, vamos simplificar esta coisa. E, claro, temos que calcular esta coisa toda, certo? Na verdade, nós iremos calcular tudo. Vamos focar na integral indefinida por ora. Nós teremos que pegar isto tudo e calcular-- digamos apenas que "y" é a antiderivada e então calcular de infinito a 0. De 0 a infinito. Então, "y" é igual a menos "e" elevado a menos "st" sobre "s", seno de "at". Agora, vamos distribuir isto. Menos "a" sobre "s" ao quadrado, "e" elevado a menos "st", cosseno de "at". Certo? OK, agora quero me certificar de não cometer nenhum erro. OK. Agora, vamos multiplicar isto vezes isto e tirar todas as constantes. Então, nós temos um "a" e um "s". "a" sobre "s". Há um sinal negativo. Temos "a" mais "a" elevado a "s". Então, nós temos "a" menos "a" ao quadrado sobre "s" ao quadrado vezes a integral de 0-- bem, eu disse que estava apenas me preocupando com a integral indefinida no momento, e nós vamos calcular os limites depois. "e" elevado a menos "st", seno de "at", "dt". Agora, esta é a parte, e nós fizemos isto antes, é uma integração por partes um pouco complicada. Mas a expressão, repare, é a mesma de nosso "y" original. Certo? Este é nosso "y" original. E nós estamos assumindo que estamos fazendo a integral indefinida, e calcularemos os limites depois. Mesmo que nós pudéssemos ter deixado os limites o tempo todo, mas teria deixado isto mais cabeludo ainda. Então, podemos reescrever esta integral como "y". Essa era nossa definição. E, na verdade, eu acabei de perceber que estamos ficando sem tempo, então eu vou continuar este problema cabeludo no próximo vídeo. Nos vemos em breve.