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L{sen(at)} – transformada de sen(at)

Transformada de Laplace de sen(at) (parte 1). Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - Nós vamos fazer um problema bem cabeludo continuando as transformadas de Laplace. Vamos continuar a ficar bem atentos, para a gente não cometer erros. Vamos dizer que nós queremos levar a transformada de Laplace, que eu represento aqui com um L, vou fazer em amarelo. A transformada de Laplace do seno de uma constante, vezes "t". Tenho aqui o seno de uma constante vezes "t". Eu represento deste jeito. A definição da transformada de Laplace diz que ela é igual à integral imprópria, que vai de zero até infinito, vezes "e" elevado a -st, vezes seno de at, vezes dt. Agora, temos que voltar a achar a integração por partes. Lembre-se que a integração por partes é a regra do produto reverso. Eu vou fazer isso aqui. Nós temos duas funções. Vou fazer em uma cor diferente, aqui embaixo. Eu tenho: "u" vezes "v". E, se eu tirar a derivada de "u" vezes "v", eu tenho que isto é d/dt, e aqui um parênteses. Estas duas funções são funções de "t", então, eu coloco que isto é igual à derivada da primeira, que eu tenho aqui, que represento por "u" e uma "espinha", vezes a segunda. E tudo isso, eu tenho ainda mais: a primeira, que é "u", vezes a derivada da segunda, que eu represento deste jeito. Se eu integrar estes dois lados, eu tenho que: "u" vezes "v" vai ser igual à integral de u'v, mais a integral de uv'. Agora nós temos que pegar isto e subtrair de ambos os lados. Pegar isto aqui e subtrair de ambos os lados. Então, vou ter esta integral como sendo: a integral de u'v, que vai ser igual a uv, menos a integral de uv'. Eu fiz isso porque sempre acabo esquecendo, então, se você é assim como eu, faça a mesma coisa só por segurança. Relembrando a integração por partes, ela diz que eu pego integral da derivada de algo (isso vai ser igual a duas funções multiplicadas entre si), menos a integral do contrário. Vamos aplicar isso no problema. Vamos fazer u'. Fazendo aqui de uma outra cor, eu tenho que: u' vai ser igual a "e" elevado a -st. No caso, "u" seria a antiderivada disto, que é igual a "a". Então, "u" seria igual a 1/s, vezes "e" elevado a -st. Como este problema é grande, eu vou definir isto como sendo igual a "y". Vou fazer em outra cor, em amarelo, para a gente não se confundir. Isto vai ser igual a "y". Voltando, eu fiz o "u" e agora tenho que fazer o "v". Vou fazer em rosa. Eu tenho que "v" vai ser igual ao seno de "a" vezes "t" e v' vai ser igual a "a" vezes o cosseno de at. Agora nós estamos prontos para fazer a integração. A transformada de Laplace, que eu chamei de "y" aqui em cima, vai ser igual a... Vamos fazer em verde. Eu tenho que "y", que é a transformada de Laplace, é igual a "u" vezes "v". Então, eu tenho aqui: -1/s, vezes "e" elevado a st, vezes o seno de at, menos... Isto pode ser uma integral indefinida, mas os limites vão ficar de zero até infinito. Então, depois deste menos, eu tenho: a integral indefinida, que eu acabei de falar, de zero até infinito, e isto é -1/s, vezes "e" elevado a -st, "a" vezes o cosseno de at, isso tudo vezes dt. Aqui nós temos uma outra integral para resolver. Isto ainda pode envolver outra integração por partes. Vamos ver se eu consigo simplificar isto para nós tirarmos as constantes e reescrever. Então, eu tenho aqui: "y", que vai ser igual a -e elevado a -st, dividido por "s", seno de at, mais a/s, a integral indefinida de zero até infinito, e aqui temos ainda: "e" elevado a -st, cosseno de at, vezes dt. Esta parte que eu estou marcando é a segunda integração por partes. Eu vou definir, novamente, u', pegando um pouquinho mais de espaço aqui... Vou fazer em uma cor diferente... Vou definir que "u" vai ser igual a: -1/s, vezes "e" elevado a st. "v" vai ser igual a "a", cosseno de at. E a parte mais difícil aqui é tentar não cometer erros tolos. Pensando assim, vamos ver agora quem seria v'. Vou fazer isto aqui para o lado. v', então, vai ser igual a: -a, seno de at Eu usei a regra da cadeia aqui. Vamos voltar agora e substituir para ver como isso vai ficar. Voltando para cá e voltando para a cor verde, eu tenho que: "y" é igual a -e elevado a -st, sobre "s", seno de at, mais a/s, e agora vou colocar uns colchetes. Eu tenho: -1/s vezes "e" elevado a -st, cosseno de at, menos a integral, de zero até infinito, de (agora eu tenho um mais aqui) mais 1/s. E por que eu tenho um "mais" ali? Eu tinha dois "menos", então eu cancelei e coloquei um "mais". Voltando aqui: 1/s, "e" elevado a -st "a" vezes seno de at, vezes dt. E vamos fechar os colchetes novamente. Isto está bem grande, agora nós vamos simplificar para calcular tudo. Mas primeiro vamos focar na integral indefinida. Então, pegando um pouco mais de espaço, nós temos "y", que vai ser igual a -e elevado a -st, dividido por "s", vezes seno de at, menos "a" sobre s², vezes "e" elevado a -st, cosseno de "a' vezes "t", menos a²/s². E agora nós vamos tirar as constantes. Nós tiramos as constantes e eu tenho agora a integral de "e" elevado a -st, seno de at, vezes dt. A integração por partes é uma coisa complicada, mas esta expressão que gente encontrou é igual ao "y" original, que a gente viu aqui em cima. É igual ao que a gente marcou aqui inicialmente. Se nós tivéssemos deixado os limites, isto ficaria ainda mais difícil. De todo modo, nós vamos definir a integral como "y" e esta é a definição. Eu vou continuar este problema em um outro vídeo.