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Bem-vindos de volta. Nós estávamos para descobrir a transformada de Laplace do seno de "at" quando meu tempo acabou. Esta era a definição da transformada de Laplace do seno de "at". Eu disse que isso também é igual a "y". Isto será útil para nós, já que vamos fazer integração por partes duas vezes. Então, eu fiz integração por partes uma vez, e então fiz a integração por partes a segunda vez. Eu disse, sabe, não se preocupe com os limites da integral no momento. Nos preocupemos apenas com a integral indefinida. E, então, após resolvermos para "y"-- digamos que "y" é a versão indefinida disso-- então, nós podemos calcular os limites. E nós chegamos a este ponto, e percebemos, após fazermos duas integrações por partes e sermos muito cuidadosos para que não façamos nenhum erro bobo, como esperado, nós percebemos que, wow, este é o "y" original. Se nós colocarmos os limites aqui, é a mesma coisa que a transformada de Laplace do seno de "at", certo? Este é nosso "y" original. Então, agora-- e mudemos de cor para evitar monotonia-- isto é igual a, na verdade, deixa eu só-- isto é "y". Certo? Esta era nossa definição original. Então, vamos adicionar "a" ao quadrado sobre "s" ao quadrado vezes "y" em ambos os lados. Então, isto é igual a "y" mais-- estou apenas adicionando todo este termo em ambos os lados da equação-- mais "a" ao quadrado sobre "s" ao quadrado vezes "y" é igual a-- então, este termo vai embora, então é igual a isto aqui. E vejamos se conseguimos simplificar. Vamos transformar em fator comum o "e" elevado a menos "st". Na verdade, vamos deixar como fator o menos "e" elevado a menos "st". Então, é menos "e" elevado a menos "st", vezes o seno de-- bem, deixa eu escrever 1 sobre "s", seno de "at", menos 1 sobre "s" ao quadrado, cosseno de "at". Eu realmente espero não ter feito nenhum erro idiota. E, assim, podemos adicionar o coeficiente. Então, temos 1 mais "a" ao quadrado, sobre "s" ao quadrado, vezes "y". Mas isso é o mesmo que "s" ao quadrado sobre "s" ao quadrado, mais "a" ao quadrado sobre "s" ao quadrado. Então, é "s" ao quadrado mais "a" ao quadrado, sobre "s" ao quadrado, "y" é igual a menos "e" elevado a menos "st", vezes isso daqui tudo, seno de "at", menos 1 sobre "s" ao quadrado, cosseno de "at". E, agora, isto daqui, já que estamos fazendo tudo em relação a "dt", isto é apenas uma constante, certo? Então, podemos dizer que uma constante vezes a antiderivada é igual a isso. Este é um bom momento para calcular os limites. Certo? Se isto tivesse um "t" aqui, eu teria de alguma forma pegado e volta no outro lado. Pelo fato dos "t"s estarem envolvidos no cálculo dos limites, já que estamos fazendo nossa integral definida ou imprópria. Então, calculemos os limites agora. E nós poderíamos tê-los deixado conosco o tempo todo, certo? E apenas deixado este termo aqui como fator comum. Mas, enfim. Calculemos isto de 0 a infinito. E isso deve simplificar as coisas. Então, este lado direito da equação, quando calculamos no infinito, o que é "e" elevado a menos infinito? Bem, é 0. Nós já definimos isso várias vezes. E agora se aproxima de 0 pelo lado negativo, mas ainda vai ser 0, ou se aproximar de 0. Qual é o seno de infinito? Bem, o seno oscila entre menos 1 e mais 1, assim como o cosseno. Certo? Então, é limitado. Então, isto aqui vai suprimir isto. E, se você estiver curioso, você pode desenhar o gráfico. Isto meio que forma um envelope em volta destas oscilações. Então, o limite, quando isto se aproxima de infinito, será igual a 0. E faz sentido, certo? Eles são limitados entre 0 e menos 1. E isto se aproxima de 0 muito rapidamente. Então, é 0 vezes alguma coisa limitada entre 1 e menos 1. Outra forma de ver isto, é observando que o valor mais alto que poderia assumir é 1 vezes o coeficiente que estiver nisso, e então isto será igual a 0. Então, é como se fosse 0 vezes 1. De qualquer forma, eu não quero focar muito nisso. Vocês podem brincar com isso se quiserem. Menos isto tudo calculado em 0. Então, o que é "e" elevado a menos 0? Bem, "e" elevado a menos 0 é 1. Certo? Isto é "e" elevado a 0. Nós temos um menos 1, então vira mais 1 vezes-- agora, seno de 0 é 0. Menos 1 sobre "s" ao quadrado, cosseno de 0. Vejamos. Cosseno de 0 é 1, então temos menos 1 sobre "s" ao quadrado, menos 1 sobre "s" ao quadrado, vezes 1. Então, isto é igual a menos 1 sobre "s" ao quadrado. E eu acho que cometi um erro, porque eu não deveria ter um número negativo aqui. Então, vamos retornar. Talvez isto aqui não seja um número negativo? Vejamos, infinito, certo? Tudo isto é 0. Quando você põe 0 aqui, isso vira menos 1. É. Então, ou isto é um mais, ou isto é um mais. Vamos ver onde eu cometi um erro. "e" elevado a menos "st"-- oh, achei o erro. Bem aqui. Onde eu fiz "a" menos "e" elevado a menos "st" como fator, certo? Justo. Então, o que torna isto 1 sobre "s", seno de "at". Mas eu deixei como fator "a" menos "e" elevado a menos "st", isto vira um mais, certo? Tinha um menos aqui, mas eu estou deixando como fator um menos "e" elevado a menos "st". Então, isto é um mais. Isto é um mais. Nossa, estou feliz que não foi tão difícil de achar. Então, isto vira um mais. E isto vira um mais. Graças a Deus. Teria sido triste se eu tivesse gastado dois vídeos e terminado com um desatento número negativo. Enfim. Então, agora temos "s" ao quadrado mais "a" ao quadrado, sobre "s" ao quadrado, vezes "y" é igual a isto. Multiplique ambos os lados por "s" ao quadrado sobre-- "s" ao quadrado mais "a" ao quadrado. Divida ambos os lados por isso, e nós temos "y" é igual a 1 sobre "s" ao quadrado-- E, na verdade, tenhamos certeza de que isso tá certo. Isto é 1 sobre "s" ao quadrado. "y" é igual a 1 sobre "s" ao quadrado, vezes "s" ao quadrado, sobre "s" ao quadrado mais "a" ao quadrado. E, então, eles se cancelam. E vamos nos certificar de que não cometi nenhum outro erro bobo. Porque eu tô com a sensação que cometi. É. Aqui. Achei o erro. E era este termo todo. E eu espero que não se importem com meus erros, mas eu quero que vejam que estou fazendo isto aqui ao vivo e eu sou humano, caso não tenham percebido ainda. Enfim, eu cometo os mesmos erros bobos. Então, eu tornei fator um "e" elevado a menos "st" aqui, então é mais. Mas era "a" sobre "s" ao quadrado. Então isto é um "a". Isto é um "a". Então, isto é um "a". Então, isto é um "a". Então, isto é um "a". Certo? Isto era um "a". E esta é a resposta certa. "a" sobre "s" ao quadrado mais "a" ao quadrado. Então, espero que aqueles errinhos não tenham distraído vocês. Essas coisas acontecem quando você faz integração por partes duas vezes com um punhado de variáveis. Mas, enfim, nós estamos prontos para adicionar na nossa tabela de transformações de Laplace. E esta é a transformada de Laplace-- eu fiz uma volta a mais, ali. Isso foi desnecessário. Deixe-me refazer. A transformada de Laplace do seno de "at" é igual a "a" sobre "s" ao quadrado, mais "a" ao quadrado. E esta é uma entrada significativa.