Transformada de Laplace 2

RKA7MP - E aí, pessoal? Nesta aula, vamos mostrar algumas transformadas que estão na tabela e vamos demonstrá-las. Você vai achar um pouquinho mais de sentido quando você olhar na tabela. Vamos reescrever a definição da transformada. Eu vou colocar a transformada de uma função f(t) vai ser igual à integral de zero ao infinito de e⁻ˢᵗ, vezes a função f(t), dt. Vamos colocar uma função eᵗ, vamos ter como transformada esta aqui é função f(t), isto vai ser igual à integral de zero ao infinito de e⁻ˢᵗ, vezes "e" elevado §a nossa função, ou seja, eᵃᵗ dt. O que temos que fazer é ajeitar isto, e lembrando que quando temos as bases iguais, nós repetimos as bases e somamos o expoente quando a gente está multiplicando. E quando fazemos isto, ficamos com "e" elevado a (- st + at). E eu já vou colocar o "t" em evidência, eu vou ficar com a integral de zero ao infinito de "e" elevado a (a - s) vezes "t", e isso dt. Eu só coloquei o "t" em evidência eu fiquei com "a" menos "s". Eu só ajeitei, basicamente. E integrando isto, vamos ficar com 1 sobre "a - s", e utilizando o teorema fundamental do cálculo, e⁽ᵃ⁻ˢ⁾ᵗ, de zero até o infinito, ou seja, do infinito até o zero, e este 1 sobre "a - s" eu joguei para a frente como constante. E temos que considerar 2 casos: o primeiro caso é quando esta diferença, "a" menos "s", é maior que zero. E eu vou colocar aqui, "a" menos "s" é maior que zero. Ou seja, se esta diferença é positiva e o "t" tende ao infinito, vamos ter "e" elevado a uma coisa muito grande, ou seja, não vamos conseguir calcular um limite. Por isso, eu não vou considerar este caso, vou considerar somente o outro. Podemos colocar aqui que não existe limite. Não existe limite. Ou seja, "a" é maior que "s". E no segundo caso, temos que considerar esta diferença como negativa. Ou seja, "a" menos "s" é menor do que zero. Se esta diferença der negativa, o expoente do "e" vai dar negativo. Uma coisa negativa multiplicada pelo infinito vamos ter 1 sobre "e" elevado a uma coisa muito grande. Ou seja, o limite vai ser zero. Aí, concluímos que "a" é menor do que "s". Então, entre os dois casos aqui, consideramos somente o segundo caso. Tudo isto vai ser igual a 1 sobre "a" menos "s", e quando você aplica o teorema fundamental do cálculo, você fica com "f" de infinito menos "f" de zero, e eu já expliquei para você o que acontece quando substituiu o infinito, e aí chegamos a zero menos 1. Isto vai ser igual a -1 sobre "a" menos "s", que é a mesma coisa que 1 sobre "s" menos "a". E, se você observar bem, esta é a transformada que está tabelada. Vamos ter como transformada de eᵃᵗ, é igual a 1 sobre "s" menos "a". Claro, sendo "s" maior que "a". Esta é a primeira demonstração. Se você observar a tabela também, a transformada de 1, que eu vou colocar aqui, você vai ter que a transformada de 1 vai ser igual a 1 sobre "s", com "s" maior do que zero porque não podemos ter denominador nulo aqui. Se você parar para pensar, podemos colocar esta transformada assim: transformada de e⁰ᵗ igual a 1 sobre "s", com "s" maior que zero porque não podemos ter denominador zero. Enfim, esta aula foi boa para você ver algumas demonstrações das transformadas. E todas aquelas transformadas tabeladas têm uma demonstração própria. É isso aí, pessoal! Até o próximo vídeo.