Laplace como operador linear e Laplace de derivadas

RKA1JV - Essa é uma boa hora para aprendermos algumas propriedades interessantes da transformada de Laplace. A primeira é um operador linear, mas o que significa isso? Isso significa que a transformada de Laplace do produto de c₁ vezes uma função f(t) mais c₂ vezes uma função g(t). Isso aqui vai ser igual à integral de zero até o infinito de e⁻ˢᵗ que multiplica c₁ vezes a função f(t), mais c₂ vezes a função g(t) dt. Isso vai ser igual, vou aplicar a distributiva aqui, então, vamos ficar com a integral de zero ao infinito de c₁ vezes e⁻ˢᵗ, vezes a função f(t), mais c₂, vezes e⁻ˢᵗ, vezes a função g(t). Isso tudo, dt, e por propriedade de integral, eu posso separar isso daqui. Como aqui é constante, aqui é constante também, eu posso jogar para frente da integral. Vou ficar com c₁ vezes a integral de zero ao infinito de e⁻ˢᵗ, vezes a função f(t) dt, mais c₂, vezes a integral de zero ao infinito de e⁻ˢᵗ, vezes g(t) dt. Eu quero que vocês percebam que isso aqui é a transformada da função f(t). Isso aqui é a transformada da função de g(t), então, eu posso colocar como c₁ que multiplica a transformada da função f(t), mais c₂, que multiplica a transformada da função g(t). Isso que é mostrar que a transformada é um operador linear. Eu mostrei que isso daqui é igual a isso daqui. Ou seja, se eu pegar c₁ que multiplica a função f(t), mais, c₂, vezes a função g(t), isso vai ser igual à soma das transformadas com essas constantes aqui na frente. Isso quer dizer que a transformada é um operador linear. Ou seja, podemos quebrar essa soma aqui e colocar dessa forma, eu acho que ficou claro. Agora a gente vai ver algo mais interessante. Eu vou apagar tudo isso aqui. O algo mais interessante vai ser a transformada da derivada de uma função. Uma função f(t), isso aqui vai ser igual à integral, de zero ao infinito, de e⁻ˢᵗ vezes a derivada da função f(t) dt. Eu quero que vocês pensem nisso aqui como integração por partes. Mas você vai ter que lembrar a fórmula de integração por partes. E se não lembrar, vou colocar aqui para vocês. Lembrando, se eu quero integrar, vou colocar aqui. Se eu quero integrar "u" vezes v', isso vai ser igual a "uv" menos a integral da derivada de "u", vezes "v". Por que eu coloquei isso aqui? Porque aqui a gente tem essa função aqui que é a função "u" e aqui é a derivada, que é o v'. Eu vou colocar aqui para calcular, para calcular essa integral aqui. O "u" vai ser igual a e⁻ˢᵗ e v' vai ser igual à nossa derivada da função f(t). E a derivada de "u" vai ser -se⁻ˢᵗ e a integral de v', que vai ser uv, vai ser igual à própria função f(t). Isso porque, se eu tenho aqui que a derivada está dando isso aqui, então, a integral, se integrar aqui e aqui, eu vou chegar na própria função f(t). Pronto, agora eu já tenho tudo o que preciso para substituir aqui e é o que eu fazer. Vamos colocar aqui que vai ser igual a e⁻ˢᵗ, vezes a função f(t) e eu vou colocar isso aqui de zero até o infinito, menos a integral de zero ao infinito de u' que vai ser -se⁻ˢᵗ, vezes a função f(t) dt. Observe que temos dois sinais negativos, então, podemos colocar positivo aqui. Eu vou colocar positivo aqui e positivo aqui. Também dando uma ajeitada nisso aqui, porque eu vou jogar o "s" para frente da integral como constante. Vamos ficar com e⁻ˢᵗ vezes a função f(t), isso de zero ao infinito, mais "s" que multiplica a integral de zero ao infinito, vezes e⁻ˢᵗ, vezes a função f(t) dt. Agora pense comigo. Se eu substituir o infinito aqui, como aqui é negativo, vamos ter uma coisa muito grande negativa. Isso vai inverter, ou seja, vai ficar 1 sobre "e" elevado a uma coisa muito grande. Portanto, isso aqui vai tender a zero. E quando eu substituo o zero aqui, isso vai dar 1. Eu vou colocar aqui, é igual a zero menos f(0), mais "s". Outra coisa interessante é você observar que isso aqui é a transformada da função de f(t). Então vou colocar "s", vezes a transformada da função f(t). Eu vou ajeitar isso aqui e vou igualar à transformada da derivada. Deixe-me só mudar de cor para ficar mais claro para você. Eu vou colocar que a a transformada da derivada da função f(t) vai ser igual, eu já vou ajeitar também. Vai ficar "s" vezes a transformada de f(t) menos f(0). Isso aqui é uma coisa muito importante para você saber porque muitas vezes você vai acabar utilizando isso em equações diferenciais. E, outro ponto a observar, é porque a gente pode criar um padrão para derivadas de ordens superiores. Por exemplo, eu posso colocar aqui que a transformada da derivada de segunda ordem da função f(t) vai ser igual a "s" vezes a transformada de f'(t), menos f'(0). E se você para pensar, qual é a transformada disso aqui ? É isso aqui. Eu posso pegar toda essa parte e jogar aqui dentro. Eu vou ficar com "s" vezes "s", vezes a transformada da função f(t), menos f(0), menos f'(0). Eu posso ajeitar, posso colocar transformada da derivada de segunda ordem de f(t) igual a s² vezes a transformada da função f(t), menos "s", vezes f(0), menos f'(0). É interessante você olhar para isso aqui, porque você pode achar derivadas de ordens superiores. Enfim, acabamos de criar um padrão. É isso aí, pessoal. Até o próximo vídeo!