If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Laplace como operador linear e Laplace de derivadas

Propriedades úteis da Transformada de Laplace. Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA1JV - Essa é uma boa hora para aprendermos algumas propriedades interessantes da transformada de Laplace. A primeira é um operador linear, mas o que significa isso? Isso significa que a transformada de Laplace do produto de c₁ vezes uma função f(t) mais c₂ vezes uma função g(t). Isso aqui vai ser igual à integral de zero até o infinito de e⁻ˢᵗ que multiplica c₁ vezes a função f(t), mais c₂ vezes a função g(t) dt. Isso vai ser igual, vou aplicar a distributiva aqui, então, vamos ficar com a integral de zero ao infinito de c₁ vezes e⁻ˢᵗ, vezes a função f(t), mais c₂, vezes e⁻ˢᵗ, vezes a função g(t). Isso tudo, dt, e por propriedade de integral, eu posso separar isso daqui. Como aqui é constante, aqui é constante também, eu posso jogar para frente da integral. Vou ficar com c₁ vezes a integral de zero ao infinito de e⁻ˢᵗ, vezes a função f(t) dt, mais c₂, vezes a integral de zero ao infinito de e⁻ˢᵗ, vezes g(t) dt. Eu quero que vocês percebam que isso aqui é a transformada da função f(t). Isso aqui é a transformada da função de g(t), então, eu posso colocar como c₁ que multiplica a transformada da função f(t), mais c₂, que multiplica a transformada da função g(t). Isso que é mostrar que a transformada é um operador linear. Eu mostrei que isso daqui é igual a isso daqui. Ou seja, se eu pegar c₁ que multiplica a função f(t), mais, c₂, vezes a função g(t), isso vai ser igual à soma das transformadas com essas constantes aqui na frente. Isso quer dizer que a transformada é um operador linear. Ou seja, podemos quebrar essa soma aqui e colocar dessa forma, eu acho que ficou claro. Agora a gente vai ver algo mais interessante. Eu vou apagar tudo isso aqui. O algo mais interessante vai ser a transformada da derivada de uma função. Uma função f(t), isso aqui vai ser igual à integral, de zero ao infinito, de e⁻ˢᵗ vezes a derivada da função f(t) dt. Eu quero que vocês pensem nisso aqui como integração por partes. Mas você vai ter que lembrar a fórmula de integração por partes. E se não lembrar, vou colocar aqui para vocês. Lembrando, se eu quero integrar, vou colocar aqui. Se eu quero integrar "u" vezes v', isso vai ser igual a "uv" menos a integral da derivada de "u", vezes "v". Por que eu coloquei isso aqui? Porque aqui a gente tem essa função aqui que é a função "u" e aqui é a derivada, que é o v'. Eu vou colocar aqui para calcular, para calcular essa integral aqui. O "u" vai ser igual a e⁻ˢᵗ e v' vai ser igual à nossa derivada da função f(t). E a derivada de "u" vai ser -se⁻ˢᵗ e a integral de v', que vai ser uv, vai ser igual à própria função f(t). Isso porque, se eu tenho aqui que a derivada está dando isso aqui, então, a integral, se integrar aqui e aqui, eu vou chegar na própria função f(t). Pronto, agora eu já tenho tudo o que preciso para substituir aqui e é o que eu fazer. Vamos colocar aqui que vai ser igual a e⁻ˢᵗ, vezes a função f(t) e eu vou colocar isso aqui de zero até o infinito, menos a integral de zero ao infinito de u' que vai ser -se⁻ˢᵗ, vezes a função f(t) dt. Observe que temos dois sinais negativos, então, podemos colocar positivo aqui. Eu vou colocar positivo aqui e positivo aqui. Também dando uma ajeitada nisso aqui, porque eu vou jogar o "s" para frente da integral como constante. Vamos ficar com e⁻ˢᵗ vezes a função f(t), isso de zero ao infinito, mais "s" que multiplica a integral de zero ao infinito, vezes e⁻ˢᵗ, vezes a função f(t) dt. Agora pense comigo. Se eu substituir o infinito aqui, como aqui é negativo, vamos ter uma coisa muito grande negativa. Isso vai inverter, ou seja, vai ficar 1 sobre "e" elevado a uma coisa muito grande. Portanto, isso aqui vai tender a zero. E quando eu substituo o zero aqui, isso vai dar 1. Eu vou colocar aqui, é igual a zero menos f(0), mais "s". Outra coisa interessante é você observar que isso aqui é a transformada da função de f(t). Então vou colocar "s", vezes a transformada da função f(t). Eu vou ajeitar isso aqui e vou igualar à transformada da derivada. Deixe-me só mudar de cor para ficar mais claro para você. Eu vou colocar que a a transformada da derivada da função f(t) vai ser igual, eu já vou ajeitar também. Vai ficar "s" vezes a transformada de f(t) menos f(0). Isso aqui é uma coisa muito importante para você saber porque muitas vezes você vai acabar utilizando isso em equações diferenciais. E, outro ponto a observar, é porque a gente pode criar um padrão para derivadas de ordens superiores. Por exemplo, eu posso colocar aqui que a transformada da derivada de segunda ordem da função f(t) vai ser igual a "s" vezes a transformada de f'(t), menos f'(0). E se você para pensar, qual é a transformada disso aqui ? É isso aqui. Eu posso pegar toda essa parte e jogar aqui dentro. Eu vou ficar com "s" vezes "s", vezes a transformada da função f(t), menos f(0), menos f'(0). Eu posso ajeitar, posso colocar transformada da derivada de segunda ordem de f(t) igual a s² vezes a transformada da função f(t), menos "s", vezes f(0), menos f'(0). É interessante você olhar para isso aqui, porque você pode achar derivadas de ordens superiores. Enfim, acabamos de criar um padrão. É isso aí, pessoal. Até o próximo vídeo!