If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Transformada de Laplace de Cos t e polinômios

Transformada de Laplace de cosseno e polinômios! Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA7MP - E aí, pessoal? Vamos utilizar agora a transformada de Laplace no conceito de equações diferenciais. Eu vou colocar a equação diferencial aqui que vai ser a derivada de segunda ordem de "y" mais 5 vezes a derivada de primeira ordem, mais 6 vezes a função igual a zero e com condições iniciais "y" de zero igual a 2 e "y" linha de zero igual a 3. Você pode até olhar para esta equação diferencial homogênea e querer utilizar a equação característica. Tudo bem, você pode utilizar a equação característica mas eu vou resolvê-la utilizando a transformada para você ver a utilidade da transformada em equações diferenciais. Vamos fazer o seguinte, vamos aplicar a transformada em ambos os lados da equação e aí ficamos com a transformada da derivada de segunda ordem, mais 5 vezes a transformada da derivada de primeira ordem de "y", mais 6 vezes a transformada de "y". Isto vai ser igual a zero, porque se eu aplicar a transformada dos dois lados, você se lembra que a transformada de zero, na verdade, é, eu vou colocar aqui que a integral de zero a infinito, de zero vezes e⁻ˢᵗ dt é igual a zero. Por isso que eu posso colocar o zero aqui. E eu vou colocar o zero aqui. Outra coisa que eu quero que você perceba é que a transformada da derivada que a gente já viu em vídeos passados era a transformada da derivada igual a "s" vezes a transformada de "y" menos "y" de zero. E substituindo isto, nós vimos também que poderíamos criar um padrão. Então, ficamos com "s" vezes a transformada da derivada de primeira ordem de "y", menos a derivada no ponto zero, mais 5 vezes a transformada da derivada de primeira ordem, mais 6 vezes a transformada de "y", igual a zero. Eu quero que você perceba, eu vou sublinhar para você ver, que isto aqui é a mesma coisa que isto aqui. E quem é a transformada da derivada de primeira ordem? A gente viu aqui. Isto vai ficar "s" vezes "s", vezes a transformada de "y" menos "y" de zero, menos "y" linha de zero, mais 5 vezes a transformada da derivada, mas como eu já expliquei para vocês, a transformada da derivada é esta aqui, eu vou substituir direto. Então, ficamos com 5 vezes "s", vezes a transformada de "y" menos "y" de zero, mais 6 vezes a transformada de "y", igual a zero. Eu vou mudar de cor para você ver, basicamente, o que eu fiz foi organizar isto. Então, isto aqui é a mesma coisa que isto aqui. E esta parte é a mesma coisa que esta. Organizando, vamos ficar com s² vezes a transformada de "y", menos 2s, menos 3, mais 5s vezes a transformada de "y" isto menos 10, mais 6 vezes a transformada de "y", igual a zero. Basicamente, o que eu fiz foi substituir as condições iniciais, "y" de zero é igual a 2, e "y" linha de zero é igual a 3. Eu substitui aqui e resolvi, já ajeitando para chegar a esta parte. E eu posso fatorar a expressão, e vou colocar em evidência os termos que eu vou sublinhar para você ver, e eu posso colocar estes termos, são todos termos que têm fatores comuns, que é transformada de "y", eu posso colocar a transformada de "y" em evidência, e vou ficar com a transformada de "y" que multiplica s² mais 5s mais 6, e reescrevendo o restante, ficamos com -2s menos 3, menos 10, igual a zero. E se eu ajeitar estes termos somando 2s dos dois lados, se eu juntar isto vai dar -13, se eu somar 13 dos dois lados, eu vou ficar com a transformada de "y" vezes s² mais 5s, mais 6, isto vai ser igual a 2s mais 13. E seu dividir ambos os membros da equação por s² mais 5s, mais 6, eu vou acabar achando a transformada de "y". Eu vou colocar que a transformada de "y" vai ser igual a 2s mais 13, sobre s² mais 5s, mais 6. Nas próximas aulas, eu vou ensinar vocês a achar a inversa da transformada que vai ser a solução desta equação. Enfim, pessoal, até o próximo vídeo.