Transformada de Laplace de t: L{t}

RKA1JV - Vamos tentar preencher a nossa tabela da transformada de Laplace um pouco mais. Uma boa maneira de começar é escrevendo a nossa definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace é de uma função f(t) igual a integral de zero até o infinito. Vamos escrever isso então. A transformada de Laplace de uma função f(t) é igual à integral de zero até infinito de e⁻ˢᵗ, f(t) vezes dt. Essa é a nossa definição. A primeira coisa que nós fizemos foi a transformada de Laplace de 1, então, "L", a transformada de Laplace de 1. Nós vimos que era igual à integral de zero até o infinito. Vamos fazê-la de outra cor. Vou fazer de verde para a gente não se confundir. Eu tinha que a transformada de Laplace de 1 era igual à integral de zero até o infinito de e⁻ˢᵗ dt, que era igual a -1 sobre "s", e⁻ˢᵗ que ia de zero até infinito. Quando nós chegamos aqui, assumindo que "s" é maior que zero, esse termo que a gente tem aqui se torna 1. E nós vamos ter que essa transformada de Laplace de 1 seria igual a zero, menos, e aqui - 1 sobre "s", que seria 1 sobre "s". Nós já resolvemos isso, agora vamos ver se a gente consegue descobrir a transformada de Laplace de "T". Vamos fazer isso. Olhando o que nós escrevemos antes, eu já consigo dizer de cara aqui que eu não sei dizer o que é isso aqui. Mas nós podemos ter uma noção do que é fazendo uma integração por partes. E eu vou fazer isso em uma outra cor. Vamos fazer aqui de azul. Eu tenho que, vamos fazer aqui embaixo, "d" sobre "dt", vou fazer a minha derivada de "u" vezes "v", é igual a u' vezes "v". A derivada da primeira vezes a segunda, vezes a nossa segunda função, mais a primeira função vezes a derivada da segunda. Agora, nós vamos colocar integral dos dois lados da nossa equação. Fazendo isso, nós temos que "uv" é igual à integral de "u" vezes "v", mais a integral de uv'. Como nós queremos aplicar isso, nós temos que fazer, temos que continuar a resolver isso. Eu tenho aqui que a integral de uv' é igual a "u" vezes "v", menos a integral de u' vezes "v". É isso aqui que nós vamos utilizar. Marcando com essa caixinha azul. Vamos deixar isso aqui porque às vezes é difícil de lembrar disso. Nós vamos fazer agora a integração por partes. Vamos facilitar a nossa vida e dizer que "t" é igual a "u" e e⁻ˢᵗ vai ser igual a v'. A partir disso, como que a gente sabe quem é "v"? "v", então, vamos fazer aqui do lado. "v" vai ser igual a -1 sobre "s", e⁻ˢᵗ. E se eu quiser saber o que é u'? u' é igual a 1. Vamos aplicar isso, agora, vamos voltar para cá. Vou fazer isso em uma outra cor. Eu tenho que a transformada de Laplace de "T" é igual a "T", isso aqui vezes, eu vou fazer aqui "u" vezes "v". Então, eu tenho "t" e aqui -1 sobre "s", e⁻ˢᵗ, que a gente definiu que era "v". E agora eu tenho que isso aqui é de zero até o infinito. Isso aqui vai ser menos a integral de zero a infinito de 1, que é isso aqui multiplicado por -1 sobre "s", e⁻ˢᵗ dt. Vamos ver se nós conseguimos simplificar isso que nós fizemos, vamos vir aqui para baixo. Eu tenho, vamos ver aqui, eu tenho que isso aqui vai ser igual a "-t" sobre "s", e⁻ˢᵗ. Isso aqui vai ser igual, isso vai ser de zero até infinito, perdão. Isso aqui, agora, vou ter mais 1 sobre "s", aqui eu tenho integral de zero até infinito de e⁻ˢᵗ dt. Eu coloquei esse 1 sobre "s" para fora e eu também troquei o sinal deles de (-) por (+), ok? Isso deve ser familiar para você. É porque a gente já viu isso no começo do vídeo. A transformada de Laplace de 1. Vou escrever assim porque nós vamos ver um padrão disso nos próximos vídeos. Agora vamos ver o nosso primeiro termo. O nosso primeiro termo vai ser igual ao limite de "A" tendendo ao infinito de "A" sobre "s", e⁻ˢᴬ, isso aqui vai ser mais (+), agora eu tenho zero sobre "s", e⁻ˢᵗ. Perdão, e⁻ˢ⁰, nós temos que cuidar para não cometer esses erros bobos. e⁻ˢ⁰. Isso aqui vai ser mais 1 sobre "s" vezes a nossa transformada de Laplace de 1. A transformada de Laplace de 1. Vamos pensar no limite disso quando "A" se aproxima do infinito. Se esse expoente sA tendendo ao infinito vai ser zero, esse termo e⁻ˢᴬ vai ser muito maior do que "A" sobre "s", perdão, aqui é "-A" sobre "s". Então, o expoente sA tendendo ao infinito vai ser, vai ser zero e esse termo e⁻ˢᴬ, que eu marquei aqui, vai ser muito maior do que "-A" sobre "s". Tudo isso vai ser zero. Da mesma maneira, o nosso próximo termo, que é zero sobre "s" vezes e⁻ˢ⁰ vai ser 1. Porém, eu tenho que multiplicar esse 1, que eu tenho aqui desses expoente "e", por zero sobre "s". O que vai resultar em zero. então, nós vamos ter aqui que a transformada de Laplace de "T" vai ser igual a 1 sobre "s". E aqui ainda tem a transformada de Laplace de 1, que nós vimos antes, que isso aqui é 1 sobre "s". A transformada de Laplace de 1 é 1 sobre "s". Lembre-se que só vai ser esse valor se "s" for maior do que zero. Fazendo isso, eu ainda tenho que a transformada de Laplace de "T" vai ser igual a 1 sobre s², porque multipliquei esses dois. Isso se "s" for maior do que zero. Nós temos mais uma entrada na nossa tabela. E nós podemos usar isso no próximo vídeo, onde nós vamos falar da transformada de Laplace de "Tⁿ"