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Equações diferenciais
Curso: Equações diferenciais > Unidade 3
Lição 2: Propriedades da transformada de Laplace- Laplace como operador linear e Laplace de derivadas
- Transformada de Laplace de Cos t e polinômios
- "mudança" transformação multiplicando função por exponencial
- Transformada de Laplace de t: L{t}
- Transformada de Laplace de t^n: L{t^n}
- Transformada de Laplace da função escalonada unitária
- Exemplos de Laplace inversa
- Função delta de Dirac
- Transformada de Laplace da função delta de Dirac
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Transformada de Laplace de t^n: L{t^n}
Transformada de Laplace de t^n: L{t^n}. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA1JV - No último vídeo, eu mostrei
a transformada de Laplace para "t". E a gente viu que a transformada
de Laplace para "t" é 1, ela pode ser generalizada como 1 sobre s². Quando a gente assume, é claro,
que "s" é maior que zero. Neste vídeo, a gente vai tentar
generalizar esse conceito. Tentando calcular a transformada
de Laplace de "tⁿ", onde "n" é qualquer número inteiro
maior do que zero. Então, a gente quer descobrir aqui
a transformada de Laplace de "tⁿ" quando "n" for maior do que zero. Por definição, a gente sabe que
a transformada de Laplace de "tⁿ" é igual, vamos fazer aqui
em uma outra cor, vamos fazer aqui "tⁿ" é igual à integral que vai de zero até infinito de "tⁿ" vezes e⁻ˢᵗ dt. Bom, da mesma maneira
de quando a gente calculou a transformada de Laplace para "t", a gente vai usar a nossa
intuição novamente para fazer a integração por partes como demonstrei no último vídeo. Só para a gente relembrar, a integração por partes
diz que a integral, vamos fazer aqui a nossa integral de
u vezes v' é igual a uv, mais a integral u' vezes v. Vamos abrir, vamos usar isso
nesse nosso probleminha. O que a gente quer fazer com v'? É sempre bom usar a nossa
função exponencial porque é mais fácil a gente calcular
a nossa antiderivada. Olhando aqui, a gente tem que
isso que a gente tem aqui é v'. Neste caso, você vai ver
a antiderivada disso. A gente tem que "v" é igual a
e⁻ˢᵗ sobre "-s". Se a gente tirar a antiderivada disso, dividido por "-s", o "s" se cancela
e a gente fica com e⁻ˢᵗ. "tⁿ" vai ser o nosso "u", vou fazer aqui uma cor diferente,
"tⁿ" vai ser o nosso "u". Então, u' vai ser igual a nt
e aqui tⁿ⁻¹. Agora a gente vai aplicar a nossa
integração por partes. Fazendo isso aqui em uma outra cor, vou fazer aqui em amarelo. A gente tem a nossa transformada
de Laplace de "tⁿ", vai ser igual à integral
de zero até infinito de tⁿ e aqui a gente tem et⁻ˢᵗ dt,
que vai ser igual, então, isso aqui vai ser igual a "-tⁿ" vezes "v", que a gente viu que o nosso "v"
é e⁻ˢᵗ sobre "s". Esse termo que eu tenho aqui, que
eu vou fazer aqui nessa caixinha azul, vai de zero até o infinito. Agora, tenho que fazer
a nossa segunda parte. Eu teria, vindo aqui para o lado, eu teria, então, menos a nossa integral
indefinida de zero até infinito de ntⁿ⁻¹ de e⁻ˢᵗ sobre "s", dt. Esse "menos" que eu coloquei
aqui é do nosso "v". Agora se eu pegar isso que a gente fez, e tentar simplificar aqui embaixo, eu tenho "-tⁿ e⁻ˢᵗ sobre "s". Aqui eu tenho, como eu tenho 2 menos, eu faço um sinal de positivo. Então, eu tenho um positivo, ou seja, estou somando a minha
integral de zero a infinito de "n" menos 1, e⁻ˢᵗ sobre ''s", dt. Vamos ver se eu consigo simplificar
mais isso que a gente tem aqui. Vou trocar de cor. Então, eu tenho aqui a nossa
transformada de Laplace de "tⁿ". Quando "t" se aproxima do infinito, o nosso primeiro termo "t"
fica muito grande, mas o termo e⁻ˢᵗ domina. Isso se "s" for maior do que zero. O nosso e⁻ˢᵗ é maior, ele tem mais força
e tem mais poder aqui. Quando a gente avalia no infinito, o termo se torna zero. A gente tem aqui zero menos 0ⁿ,
e⁻ˢ vezes zero, sobre "s". Isso, está certo, sobre "s". Isso aqui a gente sabe
que se torna zero, então, isso aqui se torna zero. Pulando para o nosso próximo termo, vamos tirar os termos constantes
que a gente tem primeiro. "n" e "s" são constantes em relação a "t". A gente tem aqui mais "n" sobre "s". A nossa integral de zero a infinito de
tⁿ⁻¹ e⁻ˢᵗ dt. Isso que eu tenho aqui deve
parecer familiar para você. Qual a definição da nossa
transformada de Laplace? A transformada de Laplace
de qualquer função é igual, vamos fazer aqui, em vermelho. Ela é igual, vamos fazer,
transformada de Laplace de F(t) é igual à integral de zero ao infinito de
F(t) e⁻ˢᵗ dt. A gente tem aqui e⁻ˢᵗ dt,
a integral de zero a infinito. E a gente tem que isso é igual
à nossa transformada de Laplace. Vamos fazer aqui,
a transformada de Laplace de "tⁿ⁻¹" É fácil assim mesmo, porque
a gente tem um termo zero e isso acaba simplificando
tudo o que a gente tem aqui. Nós temos que a transformada
de Laplace de "tⁿ" é igual, então, a "n" sobre "s", vezes a transformada
de Laplace de "tⁿ⁻¹". Essa aqui é uma simplificação bem clara, e agora a gente pode calcular
a transformada de Laplace para um expoente que é mais alto
em função do nível mais baixo. Mas a gente ainda não tem
uma fórmula muito generalizada aqui. Vamos ver se a gente consegue uma nova definição lá do começo,
que a gente possa generalizar. Eu vou escrever aqui embaixo a transformada de Laplace, vamos dizer aqui, de "t¹". Então, transformada de Laplace de "t¹". A gente viu lá em cima, que isso era 1 sobre s² quando o "s" fosse maior do que zero. O que acontece se eu pegar
a transformada de Laplace de "t²"? Então, a gente tem
a transformada de Laplace de t². Como que a gente pode usar essa
fórmula que a gente tem aqui em cima? O meu "n" aqui, eu substituiria por 2, então, ficaria 2 sobre "s"
vezes a transformada de Laplace de t¹. Isso seria igual a 2 sobre "s",
vezes 1 sobre s², isso seria 2 sobre s³. Interessante, vamos fazer mais um exemplo. Vou fazer aqui de cores diferentes. Se eu quiser saber a
transformada de Laplace de t³, isso seria igual a 3 sobre "s",
vezes a transformada de Laplace de t² que seria igual, então, a 3 sobre "s". Aqui eu vou fazer separado, reparem que eu vou fazer
2 sobre "s", vezes 1 sobre s². Isso seria, aqui, eu tenho um fatorial, então "3!" sobre s⁴. Vamos fazer outro, acho que você já está entendendo
o que acabou de acontecer aqui. Se eu quisesse saber
a transformada de Laplace de t⁴ , isso seria 4 sobre "s"
vezes a transformada de Laplace de t³. Ficaria, então, 4 sobre "s",
vezes 3 fatorial sobre s⁴. Seria, então, 4 fatorial sobre s⁵. Perceba que a gente
chegou a um princípio geral onde a gente pode provar isso por indução. Parece uma coisa bem banal, tendo
em vista tudo o que a gente já fez antes. Portanto, a transformada de Laplace "tⁿ", esse é um grande momento, então,
vou fazer em cores bem coloridas. Esse grande momento que a gente descobriu
a transformada de Laplace de "tⁿ" a gente descobriu que ela é igual a
"n" fatorial sobre "sⁿ⁺¹" A gente provou isso com esses exemplos e você pode continuar fazendo
se ainda não acredita. Mas acho que você já entendeu o padrão. Espero que você tenha
achado esse vídeo útil, e que ajude na sua vida com
as transformadas de Laplace.