Transformada de Laplace de t^n: L{t^n}

RKA1JV - No último vídeo, eu mostrei a transformada de Laplace para "t". E a gente viu que a transformada de Laplace para "t" é 1, ela pode ser generalizada como 1 sobre s². Quando a gente assume, é claro, que "s" é maior que zero. Neste vídeo, a gente vai tentar generalizar esse conceito. Tentando calcular a transformada de Laplace de "tⁿ", onde "n" é qualquer número inteiro maior do que zero. Então, a gente quer descobrir aqui a transformada de Laplace de "tⁿ" quando "n" for maior do que zero. Por definição, a gente sabe que a transformada de Laplace de "tⁿ" é igual, vamos fazer aqui em uma outra cor, vamos fazer aqui "tⁿ" é igual à integral que vai de zero até infinito de "tⁿ" vezes e⁻ˢᵗ dt. Bom, da mesma maneira de quando a gente calculou a transformada de Laplace para "t", a gente vai usar a nossa intuição novamente para fazer a integração por partes como demonstrei no último vídeo. Só para a gente relembrar, a integração por partes diz que a integral, vamos fazer aqui a nossa integral de u vezes v' é igual a uv, mais a integral u' vezes v. Vamos abrir, vamos usar isso nesse nosso probleminha. O que a gente quer fazer com v'? É sempre bom usar a nossa função exponencial porque é mais fácil a gente calcular a nossa antiderivada. Olhando aqui, a gente tem que isso que a gente tem aqui é v'. Neste caso, você vai ver a antiderivada disso. A gente tem que "v" é igual a e⁻ˢᵗ sobre "-s". Se a gente tirar a antiderivada disso, dividido por "-s", o "s" se cancela e a gente fica com e⁻ˢᵗ. "tⁿ" vai ser o nosso "u", vou fazer aqui uma cor diferente, "tⁿ" vai ser o nosso "u". Então, u' vai ser igual a nt e aqui tⁿ⁻¹. Agora a gente vai aplicar a nossa integração por partes. Fazendo isso aqui em uma outra cor, vou fazer aqui em amarelo. A gente tem a nossa transformada de Laplace de "tⁿ", vai ser igual à integral de zero até infinito de tⁿ e aqui a gente tem et⁻ˢᵗ dt, que vai ser igual, então, isso aqui vai ser igual a "-tⁿ" vezes "v", que a gente viu que o nosso "v" é e⁻ˢᵗ sobre "s". Esse termo que eu tenho aqui, que eu vou fazer aqui nessa caixinha azul, vai de zero até o infinito. Agora, tenho que fazer a nossa segunda parte. Eu teria, vindo aqui para o lado, eu teria, então, menos a nossa integral indefinida de zero até infinito de ntⁿ⁻¹ de e⁻ˢᵗ sobre "s", dt. Esse "menos" que eu coloquei aqui é do nosso "v". Agora se eu pegar isso que a gente fez, e tentar simplificar aqui embaixo, eu tenho "-tⁿ e⁻ˢᵗ sobre "s". Aqui eu tenho, como eu tenho 2 menos, eu faço um sinal de positivo. Então, eu tenho um positivo, ou seja, estou somando a minha integral de zero a infinito de "n" menos 1, e⁻ˢᵗ sobre ''s", dt. Vamos ver se eu consigo simplificar mais isso que a gente tem aqui. Vou trocar de cor. Então, eu tenho aqui a nossa transformada de Laplace de "tⁿ". Quando "t" se aproxima do infinito, o nosso primeiro termo "t" fica muito grande, mas o termo e⁻ˢᵗ domina. Isso se "s" for maior do que zero. O nosso e⁻ˢᵗ é maior, ele tem mais força e tem mais poder aqui. Quando a gente avalia no infinito, o termo se torna zero. A gente tem aqui zero menos 0ⁿ, e⁻ˢ vezes zero, sobre "s". Isso, está certo, sobre "s". Isso aqui a gente sabe que se torna zero, então, isso aqui se torna zero. Pulando para o nosso próximo termo, vamos tirar os termos constantes que a gente tem primeiro. "n" e "s" são constantes em relação a "t". A gente tem aqui mais "n" sobre "s". A nossa integral de zero a infinito de tⁿ⁻¹ e⁻ˢᵗ dt. Isso que eu tenho aqui deve parecer familiar para você. Qual a definição da nossa transformada de Laplace? A transformada de Laplace de qualquer função é igual, vamos fazer aqui, em vermelho. Ela é igual, vamos fazer, transformada de Laplace de F(t) é igual à integral de zero ao infinito de F(t) e⁻ˢᵗ dt. A gente tem aqui e⁻ˢᵗ dt, a integral de zero a infinito. E a gente tem que isso é igual à nossa transformada de Laplace. Vamos fazer aqui, a transformada de Laplace de "tⁿ⁻¹" É fácil assim mesmo, porque a gente tem um termo zero e isso acaba simplificando tudo o que a gente tem aqui. Nós temos que a transformada de Laplace de "tⁿ" é igual, então, a "n" sobre "s", vezes a transformada de Laplace de "tⁿ⁻¹". Essa aqui é uma simplificação bem clara, e agora a gente pode calcular a transformada de Laplace para um expoente que é mais alto em função do nível mais baixo. Mas a gente ainda não tem uma fórmula muito generalizada aqui. Vamos ver se a gente consegue uma nova definição lá do começo, que a gente possa generalizar. Eu vou escrever aqui embaixo a transformada de Laplace, vamos dizer aqui, de "t¹". Então, transformada de Laplace de "t¹". A gente viu lá em cima, que isso era 1 sobre s² quando o "s" fosse maior do que zero. O que acontece se eu pegar a transformada de Laplace de "t²"? Então, a gente tem a transformada de Laplace de t². Como que a gente pode usar essa fórmula que a gente tem aqui em cima? O meu "n" aqui, eu substituiria por 2, então, ficaria 2 sobre "s" vezes a transformada de Laplace de t¹. Isso seria igual a 2 sobre "s", vezes 1 sobre s², isso seria 2 sobre s³. Interessante, vamos fazer mais um exemplo. Vou fazer aqui de cores diferentes. Se eu quiser saber a transformada de Laplace de t³, isso seria igual a 3 sobre "s", vezes a transformada de Laplace de t² que seria igual, então, a 3 sobre "s". Aqui eu vou fazer separado, reparem que eu vou fazer 2 sobre "s", vezes 1 sobre s². Isso seria, aqui, eu tenho um fatorial, então "3!" sobre s⁴. Vamos fazer outro, acho que você já está entendendo o que acabou de acontecer aqui. Se eu quisesse saber a transformada de Laplace de t⁴ , isso seria 4 sobre "s" vezes a transformada de Laplace de t³. Ficaria, então, 4 sobre "s", vezes 3 fatorial sobre s⁴. Seria, então, 4 fatorial sobre s⁵. Perceba que a gente chegou a um princípio geral onde a gente pode provar isso por indução. Parece uma coisa bem banal, tendo em vista tudo o que a gente já fez antes. Portanto, a transformada de Laplace "tⁿ", esse é um grande momento, então, vou fazer em cores bem coloridas. Esse grande momento que a gente descobriu a transformada de Laplace de "tⁿ" a gente descobriu que ela é igual a "n" fatorial sobre "sⁿ⁺¹" A gente provou isso com esses exemplos e você pode continuar fazendo se ainda não acredita. Mas acho que você já entendeu o padrão. Espero que você tenha achado esse vídeo útil, e que ajude na sua vida com as transformadas de Laplace.