Transformada de Laplace da função delta de Dirac

RKA1JV - No último vídeo, mostrei para vocês a função mais bizarra que vocês viram até agora. E essa foi a função delta de Dirac. Eu a defini e vou fazer aqui a versão deslocada dela, que você já deve estar familiarizado. Eu tenho o delta de Dirac, que eu represento dessa maneira, e eu tenho delta de Dirac de T - C. Nós podemos dizer que é zero, então, isso aqui vai ser zero quando "T" é diferente de "C". Mas, isso, essencialmente, vai ao infinito, e nós precisamos ter muito cuidado quando nós fizermos isso. Eu vou colocar o infinito (∞) entre aspas, eu vou fazer uma cor diferente. Eu tenho aqui o "∞" e ela é infinito quando "T" é igual a "C". Isso são graus de infinito, porque você ainda consegue multiplicá-lo por outros números para obter funções delta de Dirac maiores quando a gente tem "T" que é igual a "C". Mais importante que isso, é a pseudodefinição que nós temos aqui. É a ideia de quando nós pegamos a integral ou a área sobre a curva ao longo de todo o "x" ou de todo o eixo "T", que nós poderíamos dizer que é, vamos fazer aqui em uma outra cor. Nós poderíamos dizer que isso aqui seria a integral de zero até infinito. E a gente tem a nossa função delta de Dirac de "T - C", isso aqui vezes dt. Nós podemos dizer que isso aqui é igual a 1. Quando a gente pegasse a área sobre a nossa curva, sobre a nossa curva da integral, isso seria igual a zero em todos os lugares. Porém, quando a gente tem "T" igual a "C", a gente tem um valor de 1. Foi isso que eu quis dizer antes, quando eu falei em "C" do infinito. Porque, por exemplo, eu tenho duas vezes a função delta de Dirac, se eu pegar a área sobre a curva disso, vamos dizer aqui que eu tenho 2 aqui na frente. se eu pegar a área disso, eu não tenho mais igual a 1. Eu tenho aqui, vou fazer um risco aqui, eu tenho que isso vai ser igual a 2. Isso deve deveria ser igual a duas vezes a área sobre a função delta de Dirac. Portanto, se eu colocar um 2 aqui na frente, o infinito vai ser duas vezes maior. De modo que a nossa área vai ser igual a 2. Por isso que eu coloquei o infinito entre aspas. Essa função é bem interessante, e eu falei dela no outro vídeo. Ela ajuda a modelar coisas que sacodem de repente, mas elas enviam uma quantidade fixa de impulso sobre alguma coisa, uma variação constante no momento. Nós vamos entender melhor isso no futuro. Vamos pensar em ferramentas matemáticas. Vamos tentar entender o que a função delta de Dirac faz quando a gente a multiplica e o que ela faz com a transformada de Laplace quando a gente a multiplica por alguma função. Vamos dizer que eu tenho a minha função delta de Dirac que eu vou deslocá-la. "C" vai ser igual a zero. Fazendo aqui em uma outra cor. Eu tenho a minha função delta de Dirac, de "T - C". Eu tenho isso aqui vezes f(t). Como desloquei a minha função, eu vou também multiplicá-la por f(t). Se eu quiser descobrir a transformada de Laplace só da função delta, poderia dizer que f(t) é igual a 1. Vamos fazer a transformada de Laplace disso então. Nós temos a transformada de Laplace que vai ser "L", aqui eu tenho meu delta de Dirac, "T - C", e é isso aqui vezes a minha f(t). E nós podemos usar a definição da transformada de Laplace que diz que a gente vai ter uma integral, vou fazer em uma outra cor. Eu tenho uma integral que vai de zero até infinito de e⁻ˢᵗ f(t) e aqui eu tenho vezes a minha função delta de Dirac, "T - C", isso vezes dt. Feito isso, vou fazer aqui um argumento intuitivo. Eu acho que vai fazer mais sentido. Eu vou tentar desenhar o que nós estamos tentando fazer. Aqui só importa de zero a infinito. Eu vou assumir que "C" é maior que zero. Vou desenhar os meus eixos aqui. Eu tenho meu eixo "T" e como ficaria a nossa primeira parte da transformada de Laplace, que seria e⁻ˢᵗ f(t)? Como ficaria essa nossa primeira parte que seria e⁻ˢᵗ vezes f(t)? Eu não sei, e⁻ˢᵗ começa em 1 e depois ela vai caindo. Vamos dizer que nós estamos multiplicando isso pela nossa f(t). Quando a gente desenha, vai ficar uma coisa mais ou menos assim. Podemos dizer que a gente tem aqui o 1 e vai ficar uma coisa mais ou menos assim. Isso que eu tenho aqui, que eu vou marcar em rosa, é e⁻ˢᵗ, vezes, opa, vezes f(t) e f(t) é o que vai dar essa forma para a nossa curva. Agora, vamos fazer a função delta de Dirac. Ela vai ser zero em todos os lugares, exceto em "C", em "C", ela vai aparecer infinitamente grande. Então, vamos fazer aqui o nosso gráfico. Vou fazer os eixos de uma outra cor. Eu tenho aqui o segundo gráfico, vou tentar deixá-lo mais reto. Tem aqui o meu segundo gráfico e aqui a gente tem um eixo "T". Vamos fazer pontos o "C", vamos dizer que o ponto "C" fica aqui. Aqui é o nosso ponto "C". Em "C", a função vai aparecer infinitamente grande como eu falei para vocês. Eu vou representar isso aqui. Claro que a gente não faz isso em outros gráficos, mas eu vou representar esse aqui com uma seta. E isso aqui está aqui, nesse nosso gráfico, vamos dizer que isso é 1. Aqui eu tenho 1. Se nós multiplicarmos essas duas coisas, o que vai acontecer? Sempre que "T" é diferente de zero, a função delta de Dirac vai ser zero. Zero vezes qualquer coisa vai ser zero. Vai ser zero em todos os lugares. Mas quando "T" é igual a "C", algo interessante vai acontecer. Qual o valor da nossa função? Vai ser o valor da delta de Dirac, vezes o valor da altura. No primeiro gráfico, nós temos, vamos dizer aqui, esse ponto aqui que vai ser esse ponto, vamos fazer em outra cor. Vamos dizer que a gente tem esse ponto aqui, que vai ser meu ponto e⁻ˢᶜ f(t). Pensando nesse ponto que é apenas um número, vamos dizer que esse ponto é 5. Esse ponto é 5 vezes a função delta de Dirac. No gráfico 2, eu teria a minha altura. A altura será função delta redimensionada, quando a gente faz isso, a nossa função vai ficar assim. Vamos dizer que, em azul, a nossa função fica assim. E aqui a gente tem o nosso ponto "C". A nossa função, isso que eu acabei de desenhar aqui, é a delta de Dirac "T - C". Agora que a gente tem a nossa função, esse ponto aqui, o que seria esse ponto? Esse ponto é e⁻ˢᶜ, vou desenhar melhor isso aqui, e⁻ˢᶜ f(c). Esse ponto vermelho que nós temos aqui. Isso até pode pode parecer uma função super sofisticada, mas ela é nada mais, nada menos do que apenas um número que a gente considera em termos de "T". Tudo que nós temos aqui é em termos de "T". Só completando, eu tenho e⁻ˢᶜ f(c) vezes a minha função delta de Dirac. Essa altura que a gente tem é infinitamente grande, essa altura que a gente tem aqui. Ela é redimensionada de tal forma que a sua área não vai mais ser 1. E eu vou mostrar isso para vocês. Vamos ver integral disso, pegando um pouco mais de espaço aqui. Eu vou fazer aqui, a gente vai ter a integral de zero ao infinito e⁻ˢᶜ f(c) vezes a nossa função delta de Dirac "T - C" dt. E isso que eu tenho aqui vai ser equivalente à minha integral. A minha integral de zero ao infinito de e⁻ˢᵗ f(t) vezes a função delta de Dirac. Então "T" menos "C" vezes dt. Isso é equivalente, vamos fazer em outra cor, isso aqui vai ser equivalente a isso que eu tenho aqui embaixo. Nós só nos importamos com essa função quando "T" é igual a "C", por isso a gente vai tornar isso constante. Então, a gente pode tirar para fora da nossa integral. Se a gente fizer isso, vou fazer isso aqui do lado, se a gente fizer isso nós temos que e⁻ˢᶜ f(c) é igual à nossa integral de zero até o infinito da função delta de Dirac. Então "T" menos "C" vezes dt. Agora, o que é isso aqui por definição? Isso vai ser igual a 1. Toda a nossa integral foi reduzida a somente isso aqui. A transformada de Laplace da nossa função delta deslocada vezes alguma outra função é igual a e⁻ˢᶜ f(c). Ou melhor, reescrevendo isso, eu tenho aqui a transformada de Laplace da função delta de Dirac. Função delta de Dirac "T - C" f(t), é igual "e", na menos, posso escrever aqui como "c" vezes "s", f(c). A partir disso, a gente pode tirar coisas bem interessantes. Por exemplo, qual a transformada de Laplace mais simples que existe? Nós poderemos pegar aqui a transformada de Laplace da função delta de Dirac de "T". Nós temos aqui que, nesse caso, o nosso "C" é igual a zero. "C" é igual a zero e que f(t) é igual a 1. Se nós fizermos isso, a transformada de Laplace vai ser "e" na menos zero vezes "s", vou escrever isso aqui embaixo. Vai ser e⁻⁰ˢ que vai ser igual a 1. Esse resultado é bem lindo quando a gente encontra, não é mesmo? Quando gente encontra o número. E se quiséssemos a função deslocada, a transformada de Laplace seria a função delta de Dirac "T - C". Esse caso que eu fiz é um caso especial onde f(t) é igual a 1. Quando a gente tem f(t) igual a 1, "f" é uma constante, então, a gente pode colocar apenas 1 aqui. Utilizando um cálculo visual, nós somos capazes de descobrir as transformadas de Laplace em várias situações diferentes envolvendo a função delta de Dirac.