Transformada de Laplace da função escalonada unitária

RKA3JV - O ponto mais importante de aprender equações diferenciais é que eventualmente a gente quer moldar sistemas físicos reais. Eu sei que tudo isso que a gente já fez até agora, foram apenas ferramentas para a gente conseguir resolver este tipo de problema. Mas, o objetivo principal é que, com essas equações diferenciais, a gente pode descrever, e pode moldar muitos sistemas. Nós também sabemos que no mundo real nem todas as coisas são tão bonitas quanto funções contínuas, certo? Então, nos próximos vídeos, nós vamos falar de funções, só que funções que são mais descontínuas do que normalmente a gente vê no cálculo tradicional ou em aulas de pré-cálculo. Bom, a primeira função que a gente vai ver é a função degrau. Ela é escrita como o "Uc", e a gente faz aqui o Uc(t), que é definida como zero quando "t" é menor do que "c". E é definida como 1 quando "t" é maior ou igual a "c". Bom, se a gente fosse colocar isso em um gráfico, tentando colocar isso aqui do lado, vamos ver se eu consigo fazer uma linha mais reta. Se a gente fosse colocar isso aqui em um gráfico, bom, primeiro a gente teria que pensar nos outros vídeos que nós conversamos sobre as transformadas de Laplace. Quando a gente falou das transformadas de Laplace, a gente só se preocupava quando "t" era maior do que zero. Então, a gente demarcava um ponto "c", e como eu quero t > 0, então vou marcar aqui como 1. A gente teria que a nossa função teria um valor zero até que ela encontrasse este ponto "c". Então, vamos dizer que isso aqui é zero. Quando ela encontra este ponto "c", a gente tem um pulo no nosso gráfico. Então, eu vou marcar este pulo aqui com este pontinho. Bom, quando a gente chega no ponto "c", quer dizer que t > 0. Então, a nossa função continuaria deste jeito. E aqui? Bom, aqui eu já marquei 1. Por que este tipo de função é útil? No mundo real a gente tem coisas que mexem com outras coisas, que acabam por mover a posição. Por exemplo, saindo de zero para "c". Claro que nada vai se mudar assim, imediatamente, como fiz aqui neste gráfico. Mas a gente pode ter um sistema, como o sistema elétrico, onde o comportamento da minha função pode ser uma coisa parecida, pode ser uma coisa parecida com isso aqui. Essa função é uma boa aproximação analítica para algum tipo de comportamento do mundo real, como isso quando é movido. Assim que a gente resolver essas equações diferenciais de maneira analítica, a gente vai ter um modelo puro. E nós também vamos ver que isso não descreve perfeitamente as coisas, mas ajuda, na medida do possível, para a gente ter uma noção do que está para acontecer. Bom, a primeira pergunta que eu tenho é: e se eu tenho algo que não acontece assim? Vamos dizer que eu queira construir algo parecido, vamos ver, que eu queira construir uma coisa parecida com isso aqui. Eu tenho aqui o meu outro gráfico. E vamos dizer que a minha função é 2 até que eu chegue em π. Então, aqui é 2 e vamos dizer que aqui eu tenho π. E depois que a minha função chega em π, ela vai para zero, e isso até o infinito. Então, aqui ela é 2 até chegar em π, e depois ela é zero. Como que eu construiria a minha função degrau a partir disso? Vamos dizer que eu tenho, então, vou fazer aqui com uma outra cor. Vamos dizer que eu tenho então 2, e aqui eu tenho menos a minha função em π. E se eu definisse a minha função deste jeito? Como eu escrevi agora. Será que isso funcionaria? Bom, para isso funcionar é preciso lembrar de quando a minha função passa em π. E a gente quer que ela seja igual a zero. Então, para que a nossa função seja igual a zero em π, eu tenho que ter aqui, vou apagar aqui, vamos ver aqui, eu vou apagar, porque para a minha função ser zero, eu teria que ter 2 - 2 e a minha função em π. Isso deve funcionar, porque quando a gente tem qualquer valor abaixo de π, quando t < π, isso que eu tenho vai se tornar a zero e a minha função vai ser igual a 2. Quando t = π, a nossa função degrau vai ter valor de 1. E quando a gente multiplica -2 com 1, a nossa função é igual a zero. Bom, agora vamos dizer que você quer que a sua função pule novamente. Vamos fazer aqui do lado. Vamos dizer que você quer que a sua função pule novamente. Bom, aqui continua igual. Eu tenho 2, aqui eu tenho π. E vamos dizer que eu tenho 2π aqui. Então, aqui eu tenho 2π. Então, ela vai continuar igual aqui. Até π ela vai ter o valor de 2. E vamos dizer que nós queremos que ela pule novamente para 2. Depois que ela chega aqui em π ela tem um valor em zero, mas quando ela chega em 2π, você quer que ela tenha este valor de 2 novamente. Vamos marcar aqui com um ponto e aqui outro ponto. Bom, o que a gente pode fazer é somar com a nossa outra função degrau. Neste caso, o "c" que a gente teria seria 2π. Então, 2π seria o "c", como nós vimos ali no começo. Neste caso, a gente teria, então, eu vou fazer aqui em uma cor diferente. A gente teria aqui f(t), seria igual a 2. E eu tenho aqui -2 a minha função degrau em π. E eu tenho, ainda, mais 2 vezes a minha função degrau em 2π. Bom, e se eu quisesse fazer uma coisa um pouquinho mais trabalhosa? Digamos que eu tenha uma função que seja, vamos pegar uma outra cor aqui. Vamos dizer que eu tenho uma função. Vamos dizer que eu tenho uma função, que ela tem um comportamento deste jeito. Bom, aqui a gente tem f(t)... E é uma coisa bem louca, não é mesmo? Aqui é o nosso eixo "t", e aqui a gente tem f(t). Bom, vamos dizer que aqui é o nosso ponto "c". Vamos dizer que aqui é o nosso ponto "c". Bom, e se eu tivesse modelando este tipo de função em um sistema físico que não faz isso? Vamos dizer que eu ficaria em zero, até algum valor. Então, eu vou marcar aqui em amarelo. Vamos dizer que eu continuo no zero até o valor "c". Bom, quando chega aqui em "c", a nossa f(t) começa a crescer. Então, vamos dizer que eu tenho aqui a nossa f(t) crescendo. Eu teria, então, aqui uma combinação de zero por um bom tempo. E depois eu teria minha f(t) se deslocando. Minha f(t) deslocada. Bom, como a gente pode construir essa função que eu fiz aqui em amarelo? Esta função que a gente deslocou e que a gente zerou até aqui o ponto "c", para a gente deslocar esta função a gente precisa substituir o nosso "t" por t - c. A gente já viu isso em algumas outras aulas de álgebra. Bom, esta função que eu tenho aqui em amarelo é f(t) - c. Para ter certeza que eu estou certa, eu fico imaginando o que acontece quando t = c. Quando eu faço algum tipo de problema como este. Bom, quando t = c, a gente tem c - c = 0. Certo? E quando a gente tem t = c, o valor da função em verde, que a gente tem aqui, que foi a primeira função, é equivalente ao valor desta minha função em amarelo. Bom, eu ainda disse que se eu deslocasse essa função, eu teria todas estas outras coisas. A função ainda continuaria, é claro. Mas eu disse que eu queria zerar esta função antes de eu chegar no ponto "c". Como eu posso zerar este tipo de função? Bom, eu acho que isso é bem óbvio para você. Porque eu comecei este vídeo falando da função degrau, certo? E se eu multiplicasse a função degrau por "f(t) - c"? Bom, a minha nova função seria a minha função degrau, que seria minha função degrau de "t" vezes a minha f(t), menos "c". Bom, até nós chegarmos em "c", a função degrau é igual a zero. Uma vez que a gente atinge "c", a nossa função degrau se torna 1. E uma vez que a gente passa de "c", isso que nós temos aqui se torna 1. E nós vamos ter 1 vezes a nossa função. A função, então, pode se comportar como a gente quiser. Esta função que a gente fez é bem útil, e logo a gente vai descobrir a transformada de Laplace dela. Vamos fazer isso aqui embaixo. E eu vou fazê-la em azul. Então, a gente teria a transformada de Laplace da nossa função degrau. O c(t) vezes f(t), menos "c" é igual, a gente tem a integral indefinida. Vamos fazer novamente aqui. A nossa integral indefinida de zero ao infinito de e⁻ˢᵗ E aqui, a gente tem vezes a nossa função. A nossa função degrau de "t" vezes f(t) menos "c". Isso aqui vezes "dt". Isso parece bem geral e bem difícil de resolver de primeira. Vamos fazer algumas substituições para você chegar em um termo que satisfaz. Eu vou escolher uma variável bem legal aqui para trabalhar. Eu gosto de trabalhar com "x", então, vamos lá! Vamos substituir. Eu tenho aqui que x = t - c. E eu posso dizer também que t = x + c. Bom, vamos ver o que acontece quando a gente faz este tipo de substituição. Mas, antes, eu acabei de lembrar que a gente pode simplificar ainda mais, antes de a gente continuar. Vamos pensar na nossa integral original. Antes de a gente pegar a integral de zero a infinito, a gente pode pensar no que esta integral ou esta função se parece. Nós temos a função degrau e ela vai ser zero até que a gente chegue em "c", certo? E nós vimos isso pela nossa definição. Deste modo, a gente pode pegar a integral, fazendo aqui embaixo, a gente pode pegar a nossa integral. Vamos fazer melhor isso aqui. A nossa integral. E aqui a gente pode colocar quando t = c. E aqui nós podemos colocar quando "t" for igual a infinito. E a gente pode copiar o restante dos nossos termos. Seria, então, e⁻ˢᵗ. A gente tem a nossa função degrau. E aqui, vezes f(t - c) dt. Bom, quando a gente tem este ponto aqui, a nossa função degrau não tem mais utilidade. Porque antes de t = c, a gente tem o valor zero. E agora a gente vai estar preocupado com valores acima de zero. Então, neste contexto, a gente disse que isso aqui é igual a 1. Eu quero deixar isso bem claro! Bom, o que eu fiz aqui? Eu mudei o limite de baixo, de zero para "c". E você já deve ter percebido por que eu fiz isso. Quando a gente está trabalhando com a substituição, a gente vai simplificar o que a gente tem para fazer mais para frente. Então, se a gente tem essa função degrau, isso vai zerar a nossa integral antes de a gente chegar em "c". Quando a função chega em "c", o valor dela seria e⁻ˢᵗ f(t - c). Se a gente quer encontrar a área sob essa curva, a gente pode ignorar tudo o que acontece antes de "c". E, por isso, nós podemos ir de "t = c" até o infinito, porque antes a gente não tem nenhuma área. Foi isso que eu fiz. Bom, outra coisa que eu disse é que a função degrau vai ser 1, neste intervalo inteiro de valores potenciais de "t". Então, a gente pode simplesmente ignorar. Bom, simplificando a nossa integral, a gente tem, então, a integral de "t = c" e de "t" igual a infinito de e⁻ˢᵗ, f(t - c) dt. No caminho que eu estava fazendo antes, era bem mais difícil. Agora, que a gente tem isso, vamos voltar naquela substituição de x = t - c. Bom, na nossa integral, quando t = c, nós temos zero, certo? Então, eu vou fazer aqui em uma outra cor. Eu tenho, então, a nossa integral. Quando t = c, eu tenho zero. E aqui eu tenho infinito de "e" na menos. Agora, eu tenho "s". Ao invés de "t" eu vou substituir pelo que eu tinha definido antes. Então, -s vezes (x + c). E eu tenho aqui f(x) dx. Bom, agora isto aqui está ficando um pouco mais interessante. Vamos continuar resolvendo. Então, vai ser igual à nossa integral de zero ao infinito de "e" elevado a "-sx", menos "sc". Aqui eu fiz uma propriedade distributiva e aqui eu tenho f(x) dx. Bom, isso vai ser igual a quê? Bom, eu vou ter que tirar este cara "sc", e eu vou fatorar o meu "e". Então, isso aqui vai ser igual, vou continuar aqui do lado. Isso aqui vai ser igual à integral de zero até o infinito de "e" elevando a "-sx", vezes "e" elevado a "-sc". E eu tenho ainda f(x) dx. Bom, isso aqui é um termo constante, então, a gente pode colocar para fora da nossa integral. Fazendo isso, então, a gente tem "e" elevado a "-sc", e aqui a nossa integral de zero até o infinito de "e" elevado a "-sx", f(x) dx. Bom, a gente pegou a transformada de Laplace da função degrau que vai até "c". Ou melhor, eu vou escrever isso. Eu vou fazer isso aqui em amarelo para ficar bem chamativo. Eu tenho, então, a transformada de Laplace da minha função degrau, e aqui f(t - c). E nós temos que isso vai ser igual, bom, eu vou fazer umas coisas mais simplificadas aqui. Isso aqui vai ser igual a "e" elevado a "-sc". Eu vou fazer a minha integral de zero até infinito de "e" elevado a "-sx", f(x) dx. Bom, isso aqui deve parecer bem interessante para você. Mas, o que é isso? Isso é a transformada de Laplace de f(t). Então, eu posso escrever isso aqui como, vamos fazer aqui embaixo, eu posso escrever isso aqui como, vou fazer com uma outra cor. Eu posso escrever isso aqui como a transformada de Laplace da minha f(t), como sendo igual à integral de zero até infinito de "e" elevado a "-st", f(x) dt. Bom, isso é o que a gente acabou de calcular. Isso aqui é exatamente a mesma coisa. Eu poderia reescrever como a transformada de Laplace de f(t). Por exemplo, eu poderia fazer isso aqui como a transformada de Laplace de f(t) e isso aqui seria igual à integral de zero a infinito de, por exemplo, "e" elevado a "-sy" f(y) vezes dy. Eu poderia fazer com qualquer letra, porque isso é uma integral definida. Quando "y" some, você fica com uma função de "s". Então, o que nós fizemos é a transformada de Laplace de f(t) vezes um vetor escalar. A gente pode mostrar, agora, que a transformada de Laplace da função degrau, vamos fazer com uma cor bem chamativa, ela vai ser igual, ela vai ser a transformada de Laplace da minha função degrau, vezes f(t - c), é igual, então, a "e" elevado a "-sc", vezes a transformada de Laplace da função f(t). Então, essa é a Transformada de Laplace que a gente estava tentando descobrir esse vídeo inteiro, para a nossa função degrau. Mas o que isso significa? O que a gente pode fazer com isso? Vamos dizer que a gente quer descobrir a transformada de Laplace da função degrau que começa em π, por exemplo. Então, a gente poderia fazer aqui. Vou fazer aqui em azul. A gente quer descobrir a transformada de Laplace da nossa função em π. E vamos dizer que eu tenho também um seno aqui. Vamos dizer que eu quero complicar as coisas. Tem aqui um seno de "t - π". Bom, nós sabemos que agora a gente tem que trocar isso aqui. A gente tem que trocar este nosso vetor por "π - s". O "c", neste caso que a gente tem aqui, vai ser o nosso π. Então, a gente teria que isso aqui seria igual "e" elevado a "-πs". E aqui a gente teria a transformada de Laplace da função de seno de "t". E nós sabemos que a transformada de Laplace de seno de "t" é igual a 1 / s² + 1. Ou seja, eu teria, então, isso aqui seria igual a "e" elevado a "-πs" vezes 1 sobre "s² + 1". Ou, então, eu poderia dizer que isso aqui é "e" elevado a "-πs", sobre "s² + 1". A gente vai fazer mais exemplos nos próximos vídeos, e eu vou te mostrar como este resultado é bem útil na sua vida, estudando a transformada de Laplace .