"mudança" transformação multiplicando função por exponencial

RKA8JV - Bom, acho que agora é uma boa hora de a gente adicionar alguma notação técnica ao nosso kit de ferramentas da transformada de Laplace. A primeira coisa que eu quero apresentar é um jeito rápido de fazer. Se eu tiver a transformada de Laplace, vamos ver, da segunda derivada de "y". Então, a gente tem a transformada de Laplace, da segunda derivada de "y". Nós vimos, em outros vídeos, que se eu quisesse a transformada de Laplace de y', eu teria a transformada de Laplace de y', bom, eu teria, então, que isso seria "s" vezes a transformada de Laplace de "y" menos y(0). Bom, nós usamos essa propriedade nos últimos vídeos para descobrir a transformada de Laplace da segunda derivada. Se nós padronizássemos esse conceito, a gente poderia dizer que a transformada de Laplace da segunda derivada seria, então, "s" vezes transformada de Laplace da primeira derivada de "y" menos y'(0). Bom, e agora, a gente pode usar a transformada de Laplace de y' para substituí-la e entrar nos termos da transformada de Laplace de "y". Então, trocando de cor aqui, a gente tem a transformada de Laplace de y', que é igual a "s", e aqui a gente tem "s" vezes transformada de Laplace de "y" menos y(0) menos y'(0). Nós expandimos isso que a gente tinha, e a gente já fez isso antes. Bom, então, a gente tem aqui, continuando, a gente tem que isso aqui é igual a s² vezes a transformada de Laplace de "y" menos sy(0) menos y'(0). Bom, então, uma coisa bem interessante para a gente notar aqui. Se você aprender, isso vai ser bem mais rápido, você não vai precisar fazer todos esses passos que a gente está fazendo. Note que quando a gente tem a transformada de Laplace da segunda derivada, com o que você termina? Bom, a gente termina com s², certo? Em cada termo de s², nós estamos abaixando o grau, e tudo, menos o primeiro termo, tem o sinal negativo. Percebam aqui. Nós começamos com a transformada de Laplace de "y", e daí nós podemos quase ver a transformada de Laplace como um tipo de integral. Nós meio que pegamos a derivada que a gente chegou em "y". Quando você tira a derivada de novo você fica com y'. E é claro que cada outro termo que a gente tem é negativo. Bom, essas não são realmente as funções, essas são funções que são avaliadas em zero. Mas essa é uma boa forma de te ajudar em como fazer esse tipo de coisa. Uma vez que você pega o jeito, você pode pegar transformada de Laplace de qualquer função arbitrária, e você faz isso muito mais rápido. Vamos dizer que eu quero pegar a transformada de Laplace da 4ª derivada de "y" agora. Então vou fazer de azul, vou fazer aqui embaixo. Eu quero a transformada de Laplace da 4ª derivada de "y". Eu posso colocar 4 aspas ou posso simplesmente colocar 4 aqui. Bom, isso vai ser igual a quê? Se a gente usar essa técnica e substituí-la, nós estamos sujeitos a cometer um erro e isso poderia levar muito tempo. Mas agora que a gente viu esse padrão, a gente pode dizer que a transformada de Laplace disse em termos da transformada de Laplace de "y". Vamos ver o que eu quero dizer com isso. Então eu posso dizer que isso aqui seria igual a s⁴ vezes a transformada de Laplace de "y" menos s³ vezes y(0) menos s²y'(0) menos sy"(0) menos y³. Bom, eu acho que agora você consegue enxergar, e você consegue ver bem o padrão aqui. Esse é um jeito muito mais rápido de elucidar transformada de Laplace de uma derivada arbitrária de "y". Uma outra coisa que eu gostaria de introduzir são algumas notações. É uma coisa que você vai ver e você vai economizar muito tempo. Bom, vamos ver então. Se eu tiver a transformada de Laplace, deixe-me pegar uma tela preta aqui. Se eu tiver a transformada de Laplace de y(t). Bom, isso vai ser uma função de "s", certo? Mas eu vou usar uma um "Y" maiúsculo aqui para a gente denotar a função de "s". Então, isso aqui vai ser igual a Y(s). Faz sentido porque, geralmente, quando a gente faz antiderivadas, você aprende o teorema fundamental do cálculo. Se você não se lembra, o teorema fundamental do cálculo, é a integral de zero a "x" f(dx) = F(x). É meio entediante aquela notação porque essa função "x" é meio que uma integral de y(t). Bom, a transformada de Laplace é como um tipo especial de integral em que você tem uma pequena função exponencial, e só para bagunçar as coisas um pouco, a gente tem isso acontecendo. Eu queria mesmo é que você se acostumasse com essa notação. Quando você vê Y(s), é a mesma coisa que você dizer que é a transformada de Laplace de y(t). Você também pode ver, por exemplo, em algum livro escrito dessa forma, transformada de Laplace de f(t) como sendo igual a F(s). No geral, "s" representa a frequência do domínio. Essa aqui é uma variável independente. Ok, eu vou fazer uma outra pergunta dirigida a vocês e eu vou aproveitar para falar mais de algumas curiosidades. Qual que é a transformada de Laplace para eᵃᵗ? Então, qual que é a transformada de Laplace para eᵃᵗ vezes f(t)? Vamos arrumar essas chaves aqui. Vezes f(t). Qual que é? Bom, vamos voltar para a definição da transformada de Laplace. Então, a gente tem que a definição é a integral de zero ao infinito de e⁻ˢᵗ eᵃᵗ f(t)dt. Agora, a gente pode somar os nossos expoentes. Então, se a gente faz isso, a gente tem que é a integral de zero ao infinito de e⁻⁽ˢ⁻ᵃ⁾ᵗ f(t)dt. Agora deixa eu te mostrar mais alguma coisa. Se eu tivesse apenas tomado a transformada de Laplace de f(t), isso vai ser igual a uma função de "s". Seja lá qual for que a gente tenha nessa essência de ''s", a gente vai ter alguma função daquela. Continuando a transformada de Laplace de f(t), a gente teria, então, vamos pegar outra cor aqui. A transformada de Laplace de f(t) seria, então, F(s), que é igual à integral de zero ao infinito de e⁻ˢᵗ f(t)dt. A transformada de Laplace só de f(t) é igual a isso aqui. A gente tem ainda mais uma função de "s". Bom, a transformada de Laplace de eᵃᵗ vezes f(t) vai ser igual a isso que a gente tem aqui em cima. Bom, qual que é a diferença entre estes dois? Bom, já dá para ver que não é muita coisa. Onde quer que eu tenha "s", eu tenho -s, eu tenho um -(s - a) no de cima, certo? Se isso é uma função de "x", o que é isso aqui? Bom, ela vai se tornar uma função qualquer. O que a transformada de Laplace de "f" era, agora vai ser a mesma função, mas no lugar de "s" a gente tem uma função de "f(s) - a". Mais uma vez, como que eu cheguei naquilo? Bom, a transformada de Laplace de "f" é uma função de "s", que é isso que a gente tem aqui, e se eu trocar "s'' por (s - a), eu tenho isso aqui. Então, isso aqui é igual a f(s - a), que é a nossa transformada de Laplace de eᵃᵗ f(t). Bom, talvez isso seja um pouco confuso, mas deixe-me te mostrar mais um exemplo. Vamos pegar uma outra tela aqui. Então vamos dizer que eu tenho a transformada de Laplace de cos(2t), e isso é igual a F(s), que é igual a "s/s² + 4". E vamos dizer que a gente tem aqui a transformada de Laplace de "e" na, sei lá, 3t vezes cos(2t). Isso seria então "F", que seria uma função de "s - 3", e isso aqui seria igual a "s - 3" "s - 3" dividido por "(s - 3)² + 4". Quando você multiplica algo por esse e³ᵗ, você torna, quando você multiplica algo por e³ᵗ, você simplesmente vai ter a transformada de Laplace desta função, mas em todo lugar que tiver um "s" você troca por (s - a). Bom, eu espero não ter te confundido muito e até o próximo vídeo!