Raízes complexas das equações características 1

RKA4JL - E aí, pessoal! Nos últimos vídeos nós aprendemos a resolver equações homogêneas com os coeficientes constantes. Vimos uma equação da forma A vezes y'' mais By' mais Cy igual a zero e vimos a equação característica, Ar² mais Br mais C igual a zero, que tinham como solução real r é igual a r₁ ou r₂ e que tinha como solução geral y igual a c₁e elevado a (r₁ de x) mais c₂e elevado a (r₂ de x). Minha pergunta a vocês é a seguinte: se em vez de raízes reais eu tivesse raízes complexas, como que faríamos isso? Lembrando que aqui na nossa equação característica quando o nosso Δ (delta) der negativo nós não possuímos raízes reais. Então eu vou descobrir se o meu r₁ e r₂ são reais ou não utilizando a nossa fórmula de resolução. Então eu vou colocar aqui que r vai ser igual a: -b ± a raiz quadrada de (b² menos 4 vezes a vezes c) e isso tudo sobre 2 vezes a. Lembrando que nós vamos ter raízes complexas quando isso aqui for negativo, ou seja, quando eu pegar (b² menos 4 vezes a vezes c), e isso acaba sendo o que conhecemos como Δ. Então quando Δ for menor do que zero acaba que a nossa raiz vai ser complexa, ou seja, vamos ter duas raízes conjugadas. Então eu posso rescrever isso aqui separando a parte real da parte imaginária. Deixe-me colocar aqui que r vai ser igual a -b sobre 2a ± a raiz quadrada de (b² menos 4ac), também sobre 2a. Então o que eu quero dizer para vocês é que eu separei isso aqui e ficamos com a parte real e aqui a nossa parte imaginária. Deixe-me escrever isso aqui em cima para ficar... Deixe-me só mudar de cor rapidinho. Então eu vou escrever aqui as raízes complexas, vou colocá-las aqui. Eu sei que você deve estar acostumado a chamar o número complexo de z igual a "a" mais bⅈ, mas eu não vou chamar de z igual a (a mais bⅈ) porque já temos constantes a e b aqui, então vou colocar de outra forma. Eu vou dizer que o meu r vai ser igual a α ± βⅈ (alfa) (beta) e eu vou ver o que acontece quando pegamos essa solução e jogamos aqui na nossa solução geral. Então ficamos com y igual a c₁e elevado a ((α mais βⅈ) vezes x) mais c₂e elevado a ((α menos βⅈ) vezes x). O que eu quero que vocês entendam é que quando isso der negativo, vamos ter uma raiz complexa. Vamos ter aqui r₁, que é o positivo, e no r₂ vai ficar o número complexo negativo, no caso eu trabalhei com o conjugado do número complexo. Enfim, agora nós vamos mexer algebricamente nisto aqui para chegar à nossa solução. Aplicando a distributiva aqui e aqui também, vamos ficar com y igual a c₁e elevado a (α x mais βⅈ) x)) mais c₂e elevado a (α x menos βⅈ) x)). Olhando para esse expoente aqui e para esse também, podemos aplicar propriedades de expoente... Podemos aplicar propriedades de potência, mas só que no sentido inverso. Como assim? Sabemos que quando temos multiplicação de bases iguais, nós repetimos as bases e somamos os expoentes. Aqui e aqui isso já está resolvido, então eu vou fazer o contrário. Vou colocar aqui "e" elevado a (α x) vezes "e" elevado a (βⅈ x). E aqui, "e" elevado a (α x) vezes "e" elevado a (-βⅈ x). Então vou colocar aqui que y vai ser igual a c₁e elevado a (α x) vezes "e" elevado a (βⅈ x) mais c₂e elevado a (α x) vezes "e" elevado a (-βⅈ x). Fatorando este lado direito pelo fator comum, "e" elevado a (α x) e "e" elevado a (α x) aqui, vamos ficar com um valor de y igual a: "e"(α x) que multiplica c₁e elevado a (βⅈ x) mais c₂e elevado a (-βⅈ x). Então sabemos por definição... Deixe-me só mudar a cor daqui para uma outra cor. Sabemos por definição que "e" elevado a (ⅈ x) é igual ao cosseno de x mais ⅈ seno de x. Podemos utilizar isto aqui e ficar com o valor de y igual a "e" elevado a (α x) que multiplica c₁ vezes o cosseno de βx mais ⅈ seno de βx mais c₂ que multiplica o cosseno de -βx mais ⅈ vezes o seno de -βx. Acho que não vai dar tempo de fazer tudo nesse vídeo, então eu vou continuar em um próximo vídeo.