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Equações diferenciais
Curso: Equações diferenciais > Unidade 2
Lição 2: Raízes complexas e repetidas da equação característica- Raízes complexas das equações características 1
- Raízes complexas das equações características 2
- Raízes complexas das equações características 3
- Raízes repetidas das equações características
- Raízes repetidas das equações características parte 2
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Raízes complexas das equações características 2
O que acontece quando a equação característica tem raízes complexas? Versão original criada por Sal Khan.
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RKA4JL - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula nós vamos continuar falando a respeito
de raízes complexas das equações características. Na aula passada, nós paramos aqui
e vamos continuar dessa parte. A questão é: o que acontece quando
temos duas raízes complexas e tentamos resolver a
equação característica? A primeira coisa a se fazer é
resolver a equação quadrática, que é uma equação
do segundo grau. Nós sabemos que quando delta é
negativo, temos duas raízes complexas. Depois disso nós, utilizamos alguma
álgebra e chegamos a essa parte. Daqui em diante nós vamos utilizar os nossos
conhecimentos a respeito de trigonometria. Nós sabemos que cosseno menos θ
é igual a cosseno de θ e que seno menos θ é
igual a menos seno de θ. Nós vamos utilizar isso para simplificar
ainda mais o que a gente tem. Então vamos ficar com y
igual a “e” elevado a (λx) e eu já vou fazer a
distributiva de c₁ e c₂. Vamos ter c₁, que
multiplica o cosseno de µx mais “i” que multiplica seno de µx
mais c₂ que multiplica cosseno de µx menos “i” que multiplica
c₂ vezes seno de µx. Só para isso não ficar confuso, eu
apliquei a distributiva nesse caso. Onde tinha cosseno de µx,
apliquei essa identidade, e onde tinha seno menos µx
eu apliquei essa aqui. Será que tem alguma coisa que
eu possa fazer para simplificar? Sim. Eu posso colocar esse
cosseno de µx em evidência e ficar com y e multiplica “e” elevado
a (λx) que multiplica c₁ mais c₂ que multiplica
cosseno de µx mais... Eu posso colocar esse
seno de µx em evidência também e vou ficar com mais
(c₁ vezes “i” mais c₂ vezes “i”) que multiplica o seno de µx. Ainda podemos simplificar
um pouco mais. c₁ mais c₂ vai dar uma constante, já que
nós estamos somando duas constantes. Então nós podemos chamar essa
parte de uma única constante c₃. E tem mais uma coisa: aqui tem c₁i mais c₂i,
que também são constantes, certo? E principalmente, se eu não estiver
restringindo c a um número real, essas duas constantes poderiam
ser números imaginários e, por causa disso, nós não conseguimos
definir se essa soma é um número real. Com isso, podemos dizer que ela
é uma outra constante arbitrária. Então eu posso chamar isso de c₄. E ajeitando, vamos ficar com
y igual a “e” elevado a (λx) que multiplica c₃
vezes cosseno de µx mais c₄ vezes seno de µx. Aqui tem duas coisas importantes
que eu quero que você perceba: a primeira é que nós não
fizemos nada de diferente, apenas pegamos duas raízes e
substituímos nas equações para r₁ e r₂. Nós sabemos que as nossas raízes
são r igual a λ mais ou menos µ vezes “i”. Essa aqui é a solução geral
da nossa equação. Isso não é algo tão
difícil de se esquecer, mas caso isso aconteça, nós podemos
resolver a equação característica. A gente tem que pegar
os números complexos e substituir de novo na equação
que nós vimos na aula passada. Eu posso até colocá-la
de novo aqui. Então, na equação, y igual a
c₁ vezes “e” elevado a (r₁x) mais c₂ vezes
“e” elevado a (r₂x). Com os números reais
a gente vai simplificando do mesmo jeito que já fizemos
e vamos chegar no mesmo ponto. Agora, se você precisar, se, por exemplo,
você estiver fazendo uma prova, lembre-se do formato da solução
que acabamos de resolver. Ok, vamos resolver um
exemplo aqui rapidamente. Deixe-me descer aqui.
Vamos dizer que eu tenha y'' mais y' mais y
igual a zero. A nossa equação característica vai
ser r² mais r mais 1 igual zero. Resolver isso aqui é o mesmo que
resolver uma equação do segundo grau. Como podemos fazer isso?
Utilizando a fórmula de resolução, que é x igual -b mais ou menos
a raiz quadrada de Δ sobre 2a. Então, nesse caso, vamos ficar com
r igual a -b, que nesse caso é 1, então -1, mais ou menos a raiz quadrada de Δ,
que é b² menos 4ac. Se resolvermos, vamos ficar com 1 menos
(4 dividido por 2 vezes 1), que dá 2. Se resolvermos isso, vamos ficar com r igual a
(-1 mais ou menos a raiz quadrada de -3) dividido por 2. Se eu ajeitar isso,
vamos ter que r igual -½ mais ou menos “i” que
multiplica a ((raiz de 3) sobre 2). Então essas raízes vão ser
as raízes da nossa solução. Agora basta substituir
na solução geral. Então nós vamos ter que y
é igual a “e” elevado a (-½x) que multiplica (c₁ vezes cosseno
de ((raiz de 3) sobre 2) vezes x mais c₂ vezes seno de
((raiz de 3) sobre 2) vezes x. Mesmo com as raízes complexas, não ficou
algo tão complicado assim de resolver, não é? O importante é lembrar do
formato da solução geral. Lembrando dela, fica muito
mais fácil de resolver. Então, só para você entender: esse -½ é o λ,
a (raiz de 3) sobre 2 é o µ. Então basta você pegar esses valores
e substituir na nossa solução geral. Quando faz isso,
você tem isso aqui. Eu espero que essa aula tenha
ajudado e até a próxima, pessoal!