Raízes complexas das equações características 2

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula nós vamos continuar falando a respeito de raízes complexas das equações características. Na aula passada, nós paramos aqui e vamos continuar dessa parte. A questão é: o que acontece quando temos duas raízes complexas e tentamos resolver a equação característica? A primeira coisa a se fazer é resolver a equação quadrática, que é uma equação do segundo grau. Nós sabemos que quando delta é negativo, temos duas raízes complexas. Depois disso nós, utilizamos alguma álgebra e chegamos a essa parte. Daqui em diante nós vamos utilizar os nossos conhecimentos a respeito de trigonometria. Nós sabemos que cosseno menos θ é igual a cosseno de θ e que seno menos θ é igual a menos seno de θ. Nós vamos utilizar isso para simplificar ainda mais o que a gente tem. Então vamos ficar com y igual a “e” elevado a (λx) e eu já vou fazer a distributiva de c₁ e c₂. Vamos ter c₁, que multiplica o cosseno de µx mais “i” que multiplica seno de µx mais c₂ que multiplica cosseno de µx menos “i” que multiplica c₂ vezes seno de µx. Só para isso não ficar confuso, eu apliquei a distributiva nesse caso. Onde tinha cosseno de µx, apliquei essa identidade, e onde tinha seno menos µx eu apliquei essa aqui. Será que tem alguma coisa que eu possa fazer para simplificar? Sim. Eu posso colocar esse cosseno de µx em evidência e ficar com y e multiplica “e” elevado a (λx) que multiplica c₁ mais c₂ que multiplica cosseno de µx mais... Eu posso colocar esse seno de µx em evidência também e vou ficar com mais (c₁ vezes “i” mais c₂ vezes “i”) que multiplica o seno de µx. Ainda podemos simplificar um pouco mais. c₁ mais c₂ vai dar uma constante, já que nós estamos somando duas constantes. Então nós podemos chamar essa parte de uma única constante c₃. E tem mais uma coisa: aqui tem c₁i mais c₂i, que também são constantes, certo? E principalmente, se eu não estiver restringindo c a um número real, essas duas constantes poderiam ser números imaginários e, por causa disso, nós não conseguimos definir se essa soma é um número real. Com isso, podemos dizer que ela é uma outra constante arbitrária. Então eu posso chamar isso de c₄. E ajeitando, vamos ficar com y igual a “e” elevado a (λx) que multiplica c₃ vezes cosseno de µx mais c₄ vezes seno de µx. Aqui tem duas coisas importantes que eu quero que você perceba: a primeira é que nós não fizemos nada de diferente, apenas pegamos duas raízes e substituímos nas equações para r₁ e r₂. Nós sabemos que as nossas raízes são r igual a λ mais ou menos µ vezes “i”. Essa aqui é a solução geral da nossa equação. Isso não é algo tão difícil de se esquecer, mas caso isso aconteça, nós podemos resolver a equação característica. A gente tem que pegar os números complexos e substituir de novo na equação que nós vimos na aula passada. Eu posso até colocá-la de novo aqui. Então, na equação, y igual a c₁ vezes “e” elevado a (r₁x) mais c₂ vezes “e” elevado a (r₂x). Com os números reais a gente vai simplificando do mesmo jeito que já fizemos e vamos chegar no mesmo ponto. Agora, se você precisar, se, por exemplo, você estiver fazendo uma prova, lembre-se do formato da solução que acabamos de resolver. Ok, vamos resolver um exemplo aqui rapidamente. Deixe-me descer aqui. Vamos dizer que eu tenha y'' mais y' mais y igual a zero. A nossa equação característica vai ser r² mais r mais 1 igual zero. Resolver isso aqui é o mesmo que resolver uma equação do segundo grau. Como podemos fazer isso? Utilizando a fórmula de resolução, que é x igual -b mais ou menos a raiz quadrada de Δ sobre 2a. Então, nesse caso, vamos ficar com r igual a -b, que nesse caso é 1, então -1, mais ou menos a raiz quadrada de Δ, que é b² menos 4ac. Se resolvermos, vamos ficar com 1 menos (4 dividido por 2 vezes 1), que dá 2. Se resolvermos isso, vamos ficar com r igual a (-1 mais ou menos a raiz quadrada de -3) dividido por 2. Se eu ajeitar isso, vamos ter que r igual -½ mais ou menos “i” que multiplica a ((raiz de 3) sobre 2). Então essas raízes vão ser as raízes da nossa solução. Agora basta substituir na solução geral. Então nós vamos ter que y é igual a “e” elevado a (-½x) que multiplica (c₁ vezes cosseno de ((raiz de 3) sobre 2) vezes x mais c₂ vezes seno de ((raiz de 3) sobre 2) vezes x. Mesmo com as raízes complexas, não ficou algo tão complicado assim de resolver, não é? O importante é lembrar do formato da solução geral. Lembrando dela, fica muito mais fácil de resolver. Então, só para você entender: esse -½ é o λ, a (raiz de 3) sobre 2 é o µ. Então basta você pegar esses valores e substituir na nossa solução geral. Quando faz isso, você tem isso aqui. Eu espero que essa aula tenha ajudado e até a próxima, pessoal!