Raízes complexas das equações características 3

RKA2G - E aí, pessoal! Hoje nós vamos ver um exemplo de quando a equação característica apresenta soluções complexas. Então, temos que a solução vai ser do tipo: "r" é igual a α mais ou menos Bi. No caso, um número complexo. E nós vimos que a solução, quando acontece isso, vai ser: y = "e" elevado a αx, isso tudo multiplicado por c₁, cosseno de ßx, mais c₂ seno de ßx. Vamos colocar uma equação aqui como exemplo. Vamos colocar a derivada de segunda ordem, mais 4 vezes a derivada de primeira ordem, mais 5 vezes a função, igual a zero, com condições iniciais: y(0) = 1 e y'(0) = 0. Na verdade, o que eu quero achar é uma solução geral e uma solução particular. Achando a equação característica, ficamos com: r², mais 4r, mais 5, igual a zero. E, se a gente resolve isto pela fórmula da equação quadrática, chegamos a: r = -4, mais ou menos a raiz quadrada de B², que é 16 - 4 vezes 1, vezes "c", que é 5, isso tudo sobre 2 vezes "a", que é 2 vezes 1 (então acaba ficando somente 2). E, se você resolver isto aqui de dentro, acaba chegando a uma raiz quadrada de um número negativo. E, como não conseguimos calcular raiz quadrada de número real regativo, acabamos por chegar a um número complexo. Então, eu vou colocar: igual a -4, mais ou menos a raiz quadrada de -4, sobre 2. E que eu posso colocar: igual a -4, mais ou menos 2i, sobre 2. Lembrando que, aqui, nós vamos colocar 2i porque não existe raiz quadrada de número negativo. Então, não existe a raiz quadrada de -4 nos números reais. Portanto, é um número complexo. Portanto, eu vou colocar aqui embaixo... Vou reescrever isto como r = -2, mais ou menos "i", que é o conjugado. Comparando isto com isto, descobrimos que o α vale -2 e o ß vale 1, que está multiplicando "i". No caso, a parte real vale -2 e a parte imaginária vale 1. Então, isto aqui é o α e aqui está o ß, que é igual a 1. Então, a solução geral vai ser: y = "e" elevado a -2x, que multiplica c₁, cosseno de "x", mais c₂, seno de "x". E ficamos com isto porque o "α" desta equação acabou valendo -2 e o "ß" daqui foi 1. Portanto, chegamos aqui. Agora, para achar uma solução particular, precisamos substituir as condições iniciais. Primeiramente eu vou substituir esta na solução geral. Substituindo, vamos ter 1 = 1, vezes c₁ vezes o cosseno de zero, mais c₂ vezes o seno de zero. E, como bem sabemos, o cosseno de zero vale 1, então isto vai valer 1, e o seno de zero vale zero, portanto, chegamos a um valor de c₁. c₁ = 1. Isso porque aqui deu zero, e zero vezes c₂ vai sumir esta parte. E, aqui, 1 vezes c₁ vezes 1, vamos chegar a c₁ = 1. Agora, para substituir a segunda condição inicial, precisaremos descobrir a derivada desta equação. Então, derivando... Derivando, ficamos com: derivada da solução geral vai ser igual a -2 elevado a -2 x, vezes c₁, cosseno de "x" (no caso, c₁ vale 1, então eu já joguei) mais c₂, seno de "x" mais "e" elevado a -2x, vezes menos seno de "x" mais c₂, cosseno de "x". Chegamos nisto aqui porque utilizamos a regra do produto de derivadas na solução geral. Então, vai ficar: a derivada da primeira, vezes a segunda função, mais a derivada na segunda função vezes a primeira função. Por isso que chegamos aqui. E agora, substituindo a segunda condição inicial, ficamos com zero igual a: -2 vezes (1 + 0), mais 1 vezes (0 + c₂). No caso, chegamos nisto aqui porque substituímos esta condição inicial e calculamos. Se você continuar resolvendo, ficamos com: zero igual a -2 + c₂, o que nos dá o valor de c₂. Nos dá o valor de c₂ = 2. Pronto, agora já temos a segunda constante e, finalmente, podemos determinar a solução particular. Vamos ter a solução particular, que eu vou chamar de y(x). Vai ser igual a: "e" elevado a -2x, que multiplica o cosseno de "x" mais 2 vezes o seno de "x". E esta aqui vai ser a solução particular. Enfim, pessoal, até o próximo vídeo!