Raízes repetidas das equações características parte 2

RKA3JV - Vamos ver outro exemplo de raízes repetidas. Então, eu vou colocar aqui a equação que vai ser a derivada de segunda ordem, menos a derivada de primeira ordem, mais 0,25, vezes a função, igual a zero. E com condições iniciais y(0) = 2 e y'(0) = 1/3. E utilizando a equação característica que vai ser r² - r + 0,25 = 0. E se eu utilizar a fórmula de resolução da equação quadrática, eu vou ter r = 1 ± √(1 - 1) sobre 2. Isso porque a fórmula de resolução é -b ± √b² - 4ac. Então, aqui o "b" negativo, ficou positivo. E temos 4 vezes o "a", que vale 1, vezes o "c", que vale e 0,25, e -4 vezes 1, vezes 0,25 vai dar 1. Portanto, se eu resolver isso aqui, eu vou chegar a um valor de "r" igual a 1/2. E você pode colocar como solução geral, y = "c" vezes "e" elevado a 1/2(x). Mas, claro, você viu na aula passada, que isso aqui não é uma solução mais geral, que existe uma solução mais geral que essa. E você também viu que essa solução mais geral, na verdade, era o "y" igual a uma função, que eu vou chamar de v(x), vezes "e" elevado a 1/2(x). Você também viu que essa função aqui, a gente podia chamar de c₁ + c₂, vezes "x". Isso vai nos dar, como solução geral, y = c₁ vezes "e" elevado a 1/2(x) mais c₂ vezes "e" elevado a 1/2(x), vezes "x". Bem, agora que temos a nossa solução geral, podemos usar os nossos valores iniciais para determinar as constantes c₁ e c₂. Mas, primeiro, vou precisar calcular a derivada da solução geral. E vou ter uma derivada de primeira ordem igual a 1/2 c₁ vezes "e" elevado a 1/2(x) mais c₂ vezes "e" elevado a 1/2(x), mais 1/2(x), vezes "e" elevado a 1/2(x). Eu fiquei com isso, porque eu utilizei a regra do produto de derivadas nestas duas funções aqui. Por isso, eu cheguei aqui. E eu posso fatorar essa derivada. Então, eu vou ficar aqui com a derivada igual a "e" elevado a 1/2(x), que multiplica c₁/2, mais c₂, mais c₂/2, vezes "x", vezes "e" elevado a 1/2(x). Aqui eu fiquei com isso, porque eu apliquei distributiva aqui, e depois eu coloquei em evidência o "e" elevado a 1/2(x). Portanto, eu fiquei com essa derivada aqui. Agora, eu posso substituir as nossas condições iniciais. E eu vou começar substituindo o y(0) = 2 na solução geral. Então, eu vou ficar com, daqui concluímos, se eu substituir y(0) = 2, concluímos que "c₁ = 2". Concluímos, então, que c₁ = 2. A nossa primeira constante. Porque se eu pegar o zero e substituir aqui no lugar do "x" e aqui no lugar do "x", e aqui também, eu vou ficar com o seguinte: aqui vai dar eº, e todo número elevado a zero é 1. Portanto, isso aqui vai dar 1 e aqui é a mesma coisa, também vai dar 1. Mas, como temos um "x" aqui, e o "x" vale zero, toda essa expressão vai ser cancelada, portanto, ficamos somente com c₁ = 2. E substituindo a segunda condição inicial, e já substituindo também o c₁ = 2 aqui, vamos ficar com, então, y' vai ser igual a 1 mais c₂ vezes "e" elevado a 1/2(x), mais c₂/2, vezes "x" vezes "e" elevado a 1/2(x). Isso porque eu substituí primeiro o c₁ = 2 aqui e eu ajeitei para ficar isso aqui. Agora sim, eu vou substituir a segunda condição inicial. Então, vamos ficar com 1/3 = 1 + c₂. Então, vamos ter c₂ = -2/3. Então, essa aqui é a nossa segunda constante. Mas, porque deu isso aqui? Se eu substituir o zero aqui, isso aqui vai dar 1. E se eu substituir zero aqui, toda essa expressão vai sumir. Logo, vamos ficar somente com 1 + c₂. E substituímos 1/3 aqui, portanto, 1/3 = 1 + c₂. E se resolvermos, chegamos ao valor de c₂ = -2/3. Então, eu posso colocar, agora, a minha solução particular. E colocando aqui, chegamos a uma solução particular. E eu vou colocar aqui que a minha solução particular vai ser "y" é igual a 2 vezes "e" elevado a 1/2(x), menos 2/3 vezes "x", vezes "e" elevado a 1/2(x). Isso porque eu substituí c₁ e c₂ da nossa solução mais geral. Enfim, pessoal, até o próximo vídeo!