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Equações diferenciais
Curso: Equações diferenciais > Unidade 2
Lição 2: Raízes complexas e repetidas da equação característica- Raízes complexas das equações características 1
- Raízes complexas das equações características 2
- Raízes complexas das equações características 3
- Raízes repetidas das equações características
- Raízes repetidas das equações características parte 2
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Raízes repetidas das equações características
O que acontece quando a equação característica tem apenas 1 raiz repetida? Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA14C E aí pessoal, tudo bem? Nós já vimos que, quando temos uma equação diferencial
de segunda ordem... Por exemplo, digamos
que eu tenha aqui: y'' + 4 vezes y' + 4y = 0. Se nós quisermos encontrar
a solução geral dessa equação, nós vimos no vídeo anterior que precisamos encontrar
a equação característica primeiro. Então, aqui nós temos
a equação característica que é r² + 4r + 4 = 0. Claro, isso é fácil de fatorar. Você nem precisa utilizar a fórmula de resolução da equação
de segundo grau. Nós sabemos que
isso é igual a: (r + 2) vezes (r + 2) = 0. Uma coisa bem interessante
acontece aqui que não tínhamos visto antes. As duas raízes dessa equação
características são iguais. Então, nós temos duas raízes reais iguais. E a raiz é igual a -2. Ou seja, podemos dizer que
temos somente uma solução, uma raiz ou então
duas raízes iguais. Mas o que eu quero dizer é
que somente uma raiz satisfaz esta equação característica aqui. Você pode até dizer: "A minha solução geral
vai ser igual a y," "que é igual a uma constante c," "que multiplica e⁻²ˣ". Lembrando que este -2
vem daqui, da nossa solução. A minha resposta
para você é que esta aqui é somente
uma solução. O que quero dizer é que
esta é apenas uma solução. Você pode até substituir
aqui para ver. Por que eu estou falando isso? Porque esta aqui é uma equação
diferencial de segunda ordem. Claro, se nós estamos procurando
soluções particulares, nós precisamos de
duas condições iniciais. Ou seja, eu preciso aqui de y(0) e também da derivada de y(0). Então, em geral, quando temos
uma equação de segunda ordem, precisamos de condições iniciais dadas. Agora, o motivo pelo qual esta aqui
não é uma solução geral é que nós temos duas
condições iniciais, correto? Então, se nós substituirmos uma, nós podemos resolver
e determinar o c. Ou seja, você terá uma resposta
para este c aqui, para esta constante c. Se você substituir
a outra condição inicial, você vai achar um c diferente. Claro, com exceção de um
ou outro caso particular. Ou seja, o valor de c que você
obteve para a primeira condição, não vai ser válido quando você
substituir a segunda condição inicial. Você pode até testar aqui,
por exemplo: se y(0) fosse igual a A, vamos dizer que seja igual a A, e a derivada de y(0) é 5A. Vamos ver se isso funciona. Substituindo y(0) = A aqui,
na nossa equação, nós vamos ter
A = c vezes e⁰. Claro, todo número
elevado a 0 dá 1. Por isso, nós vamos
ter c = A. A nossa constante c
vai ser igual a A. Se nós consideramos somente
a primeira condição inicial, vamos ter uma solução particular: y = A vezes e⁻²ˣ. Agora vamos ver se
essa solução particular satisfaz a segunda condição inicial. Então, a derivada disto aqui vai ser igual a -2A vezes e⁻²ˣ. Como sabemos, a derivada em zero
é igual a 5A, correto? Então, eu posso colocar aqui: 5A = -2A vezes e⁰, já que estou trabalhando em zero. E isto aqui eu posso cortar,
porque vai ser igual a 1. Observe que eu tenho 5A = -2A, o que não é verdade. Ou seja, isto aqui é diferente. Então, é importante você perceber que, quando nós temos
esta provável solução geral, ela só vai satisfazer uma
das condições iniciais. É mais ou menos
por isso que esta aqui não pode ser a solução geral. Para resolver isso,
podemos usar uma técnica chamada de redução de ordem. Deixa eu apagar isto aqui
para ficar melhor. Essa técnica de
redução de ordem simplesmente diz que nós
podemos chutar uma solução. Quando nós olhamos para estes
coeficiente lineares aqui na equação, algo me diz que eʳˣ
pode ser um bom chute. Eu estou dizendo isso porque todas
as funções derivadas de eˣ são múltiplas da função original. Se estamos procurando
uma segunda solução, nada impede de darmos um chute. Então, para ser mais genérico, vamos dizer que nós temos
uma função g que seja uma função v(x) vezes a primeira solução, então, vezes e⁻²ˣ. E, claro, eu não coloquei o c aqui porque já tem um c
embutido nesta função. Ou seja, estou sendo
o mais genérico possível. Então, vamos dizer que aqui
nós temos essa função, e vamos substituir de volta
na equação diferencial original. Mas, antes de fazer isso,
vou só obter a derivada aqui. A derivada de g vai ser igual... Eu vou utilizar
a regra do produto. Nós temos que aqui vai ser
a derivada da primeira, que é v', vezes a segunda função,
que é e⁻²ˣ. Eu vou somar isso com
a primeira função, que é v, vezes a derivada
da segunda função, que é -2e⁻²ˣ. Eu posso até dar uma ajeitada aqui. E vou ter que a derivada de g
vai ser igual a v', que multiplica e⁻²ˣ, menos 2ve⁻²ˣ. Agora eu vou obter aqui também
a derivada de segunda ordem, já que vou precisar
na minha equação. Eu vou mudar de cor aqui
para ficar melhor para você ver. Eu vou ter aqui que a derivada de segunda ordem de g vai ser igual... Observe que, para eu obter
a derivada de segunda ordem, eu vou ter que derivar
essas duas funções. Então, eu vou ter a regra do
produto aqui e também aqui. Eu vou ficar com v", ou seja, a derivada
de segunda ordem de v, vezes e⁻²ˣ, menos 2v', ou seja, 2 vezes a derivada
de primeira ordem, vezes e⁻²ˣ. Agora, eu faço a mesma coisa
com essas duas funções. E vou ter -2 vezes a derivada
de primeira ordem de v, vezes e⁻²ˣ, mais 4ve⁻²ˣ. Posso simplificar essa derivada
de segunda ordem. Eu vou ter que a derivada
de segunda ordem de g vai ser igual à derivada
de segunda ordem de v, vezes e⁻²ˣ, menos 4v', vezes e⁻²ˣ, mais 4ve⁻²ˣ. Antes de eu pegar essas informações
e substituir na minha equação, posso ainda dar uma simplificada aqui. Observe que g é alguma função vezes e⁻²ˣ. A derivada de primeira ordem
tem e⁻²ˣ também. E a derivada de segunda ordem
também tem e⁻²ˣ. Isso significa que eu posso fatorar. Ou seja, eu posso colocar
o e⁻²ˣ em evidência tanto aqui
quanto aqui. Então, se eu substituir aqui e colocar o e
em evidência, o e⁻²ˣ, eu vou ter: e⁻²ˣ, que multiplica v", menos 4v', mais 4v. Observe que isso vem daqui. Eu coloquei o e⁻²ˣ daqui. Agora, observe que o e⁻²ˣ está multiplicando o v' aqui, mas, como aqui tem um 4, então vamos ficar com 4v'. A mesma coisa acontece
com este -2 aqui, que está sendo multiplicado por 4. Nós vamos ficar com -8v. Agora, a nossa função g, se substituirmos no lugar do y, vamos ficar com 4 vezes ela. É por isso que, quando eu
coloco o e⁻²ˣ em evidência, eu vou ficar com 4v, que é a nossa função. Claro, nós sabemos que isso dá zero. E ainda podemos simplificar
isso ainda mais. Observe que eu tenho 4v aqui e também tenho 4v aqui: 4 + 4 = 8, então, posso simplificar
com este -8 aqui. Também, eu tenho -4 aqui e mais 4 aqui,
isso também dá zero. Sobrou somente a derivada
de segunda ordem de v. Então, eu posso colocar e⁻²ˣ vezes a derivada
de segunda ordem de v... Eu posso colocar aqui
já o v(x). E isso é igual a zero. Se nós temos a multiplicação
de duas funções e isso está dando zero,
uma delas tem que ser zero. Mas observe que isto aqui
nunca vai ser zero. Então, apenas a derivada de
segunda ordem de x tem que ser igual a zero. O que nós devemos fazer aqui para resolver essa equação
é achar a antiderivada. Ou seja, basta integrar
em ambos os lados. Integrando em ambos os lados, nós vamos ter que a derivada
de primeira ordem de v(x) vai ser igual a c₁. Novamente, integrando
em ambos os lados, nós vamos ter a função v(x) = c₁ vezes x. Mas, claro, eu tenho que somar isso com uma segunda constante, correto? Lembra qual foi o nosso chute? Nós tínhamos alguma
função arbitrária vezes a primeira solução
que nós encontramos. Ou seja, e⁻²ˣ. O interessante é que,
quando pegamos o nosso chute e substituímos na nossa equação,
nós conseguimos resolver. Ou seja, nós resolvemos para v e encontramos esta função aqui. Então, nós sabemos que
a função que chutamos, que agora não é
mais um chute, nós já sabemos que
essa função é a solução... Então, v(x) vezes e⁻²ˣ. Se nós substituirmos esta função aqui, nós vamos ter que
isso vai ser igual a: c₁ vezes x
mais c₂, vezes e⁻²ˣ. E, se eu aplicar
a distributiva aqui, vou ter que isso é igual a: c₁ vezes x
vezes e⁻²ˣ, mais c₂ vezes e⁻²ˣ. Agora, nós finalmente
temos uma solução geral que satisfaz as duas condições iniciais. Se estávamos buscando um padrão
para quando encontrássemos equações características
com raízes repetidas, este aqui é um padrão. Ou seja, agora nós temos
um x aqui vezes o e. Isso sempre funciona para equações de segunda ordem
homogêneas lineares e com coeficientes constantes. Mas... é isso aí, pessoal! Até a próxima aula!