Raízes repetidas das equações características

RKA14C E aí pessoal, tudo bem? Nós já vimos que, quando temos uma equação diferencial de segunda ordem... Por exemplo, digamos que eu tenha aqui: y'' + 4 vezes y' + 4y = 0. Se nós quisermos encontrar a solução geral dessa equação, nós vimos no vídeo anterior que precisamos encontrar a equação característica primeiro. Então, aqui nós temos a equação característica que é r² + 4r + 4 = 0. Claro, isso é fácil de fatorar. Você nem precisa utilizar a fórmula de resolução da equação de segundo grau. Nós sabemos que isso é igual a: (r + 2) vezes (r + 2) = 0. Uma coisa bem interessante acontece aqui que não tínhamos visto antes. As duas raízes dessa equação características são iguais. Então, nós temos duas raízes reais iguais. E a raiz é igual a -2. Ou seja, podemos dizer que temos somente uma solução, uma raiz ou então duas raízes iguais. Mas o que eu quero dizer é que somente uma raiz satisfaz esta equação característica aqui. Você pode até dizer: "A minha solução geral vai ser igual a y," "que é igual a uma constante c," "que multiplica e⁻²ˣ". Lembrando que este -2 vem daqui, da nossa solução. A minha resposta para você é que esta aqui é somente uma solução. O que quero dizer é que esta é apenas uma solução. Você pode até substituir aqui para ver. Por que eu estou falando isso? Porque esta aqui é uma equação diferencial de segunda ordem. Claro, se nós estamos procurando soluções particulares, nós precisamos de duas condições iniciais. Ou seja, eu preciso aqui de y(0) e também da derivada de y(0). Então, em geral, quando temos uma equação de segunda ordem, precisamos de condições iniciais dadas. Agora, o motivo pelo qual esta aqui não é uma solução geral é que nós temos duas condições iniciais, correto? Então, se nós substituirmos uma, nós podemos resolver e determinar o c. Ou seja, você terá uma resposta para este c aqui, para esta constante c. Se você substituir a outra condição inicial, você vai achar um c diferente. Claro, com exceção de um ou outro caso particular. Ou seja, o valor de c que você obteve para a primeira condição, não vai ser válido quando você substituir a segunda condição inicial. Você pode até testar aqui, por exemplo: se y(0) fosse igual a A, vamos dizer que seja igual a A, e a derivada de y(0) é 5A. Vamos ver se isso funciona. Substituindo y(0) = A aqui, na nossa equação, nós vamos ter A = c vezes e⁰. Claro, todo número elevado a 0 dá 1. Por isso, nós vamos ter c = A. A nossa constante c vai ser igual a A. Se nós consideramos somente a primeira condição inicial, vamos ter uma solução particular: y = A vezes e⁻²ˣ. Agora vamos ver se essa solução particular satisfaz a segunda condição inicial. Então, a derivada disto aqui vai ser igual a -2A vezes e⁻²ˣ. Como sabemos, a derivada em zero é igual a 5A, correto? Então, eu posso colocar aqui: 5A = -2A vezes e⁰, já que estou trabalhando em zero. E isto aqui eu posso cortar, porque vai ser igual a 1. Observe que eu tenho 5A = -2A, o que não é verdade. Ou seja, isto aqui é diferente. Então, é importante você perceber que, quando nós temos esta provável solução geral, ela só vai satisfazer uma das condições iniciais. É mais ou menos por isso que esta aqui não pode ser a solução geral. Para resolver isso, podemos usar uma técnica chamada de redução de ordem. Deixa eu apagar isto aqui para ficar melhor. Essa técnica de redução de ordem simplesmente diz que nós podemos chutar uma solução. Quando nós olhamos para estes coeficiente lineares aqui na equação, algo me diz que eʳˣ pode ser um bom chute. Eu estou dizendo isso porque todas as funções derivadas de eˣ são múltiplas da função original. Se estamos procurando uma segunda solução, nada impede de darmos um chute. Então, para ser mais genérico, vamos dizer que nós temos uma função g que seja uma função v(x) vezes a primeira solução, então, vezes e⁻²ˣ. E, claro, eu não coloquei o c aqui porque já tem um c embutido nesta função. Ou seja, estou sendo o mais genérico possível. Então, vamos dizer que aqui nós temos essa função, e vamos substituir de volta na equação diferencial original. Mas, antes de fazer isso, vou só obter a derivada aqui. A derivada de g vai ser igual... Eu vou utilizar a regra do produto. Nós temos que aqui vai ser a derivada da primeira, que é v', vezes a segunda função, que é e⁻²ˣ. Eu vou somar isso com a primeira função, que é v, vezes a derivada da segunda função, que é -2e⁻²ˣ. Eu posso até dar uma ajeitada aqui. E vou ter que a derivada de g vai ser igual a v', que multiplica e⁻²ˣ, menos 2ve⁻²ˣ. Agora eu vou obter aqui também a derivada de segunda ordem, já que vou precisar na minha equação. Eu vou mudar de cor aqui para ficar melhor para você ver. Eu vou ter aqui que a derivada de segunda ordem de g vai ser igual... Observe que, para eu obter a derivada de segunda ordem, eu vou ter que derivar essas duas funções. Então, eu vou ter a regra do produto aqui e também aqui. Eu vou ficar com v", ou seja, a derivada de segunda ordem de v, vezes e⁻²ˣ, menos 2v', ou seja, 2 vezes a derivada de primeira ordem, vezes e⁻²ˣ. Agora, eu faço a mesma coisa com essas duas funções. E vou ter -2 vezes a derivada de primeira ordem de v, vezes e⁻²ˣ, mais 4ve⁻²ˣ. Posso simplificar essa derivada de segunda ordem. Eu vou ter que a derivada de segunda ordem de g vai ser igual à derivada de segunda ordem de v, vezes e⁻²ˣ, menos 4v', vezes e⁻²ˣ, mais 4ve⁻²ˣ. Antes de eu pegar essas informações e substituir na minha equação, posso ainda dar uma simplificada aqui. Observe que g é alguma função vezes e⁻²ˣ. A derivada de primeira ordem tem e⁻²ˣ também. E a derivada de segunda ordem também tem e⁻²ˣ. Isso significa que eu posso fatorar. Ou seja, eu posso colocar o e⁻²ˣ em evidência tanto aqui quanto aqui. Então, se eu substituir aqui e colocar o e em evidência, o e⁻²ˣ, eu vou ter: e⁻²ˣ, que multiplica v", menos 4v', mais 4v. Observe que isso vem daqui. Eu coloquei o e⁻²ˣ daqui. Agora, observe que o e⁻²ˣ está multiplicando o v' aqui, mas, como aqui tem um 4, então vamos ficar com 4v'. A mesma coisa acontece com este -2 aqui, que está sendo multiplicado por 4. Nós vamos ficar com -8v. Agora, a nossa função g, se substituirmos no lugar do y, vamos ficar com 4 vezes ela. É por isso que, quando eu coloco o e⁻²ˣ em evidência, eu vou ficar com 4v, que é a nossa função. Claro, nós sabemos que isso dá zero. E ainda podemos simplificar isso ainda mais. Observe que eu tenho 4v aqui e também tenho 4v aqui: 4 + 4 = 8, então, posso simplificar com este -8 aqui. Também, eu tenho -4 aqui e mais 4 aqui, isso também dá zero. Sobrou somente a derivada de segunda ordem de v. Então, eu posso colocar e⁻²ˣ vezes a derivada de segunda ordem de v... Eu posso colocar aqui já o v(x). E isso é igual a zero. Se nós temos a multiplicação de duas funções e isso está dando zero, uma delas tem que ser zero. Mas observe que isto aqui nunca vai ser zero. Então, apenas a derivada de segunda ordem de x tem que ser igual a zero. O que nós devemos fazer aqui para resolver essa equação é achar a antiderivada. Ou seja, basta integrar em ambos os lados. Integrando em ambos os lados, nós vamos ter que a derivada de primeira ordem de v(x) vai ser igual a c₁. Novamente, integrando em ambos os lados, nós vamos ter a função v(x) = c₁ vezes x. Mas, claro, eu tenho que somar isso com uma segunda constante, correto? Lembra qual foi o nosso chute? Nós tínhamos alguma função arbitrária vezes a primeira solução que nós encontramos. Ou seja, e⁻²ˣ. O interessante é que, quando pegamos o nosso chute e substituímos na nossa equação, nós conseguimos resolver. Ou seja, nós resolvemos para v e encontramos esta função aqui. Então, nós sabemos que a função que chutamos, que agora não é mais um chute, nós já sabemos que essa função é a solução... Então, v(x) vezes e⁻²ˣ. Se nós substituirmos esta função aqui, nós vamos ter que isso vai ser igual a: c₁ vezes x mais c₂, vezes e⁻²ˣ. E, se eu aplicar a distributiva aqui, vou ter que isso é igual a: c₁ vezes x vezes e⁻²ˣ, mais c₂ vezes e⁻²ˣ. Agora, nós finalmente temos uma solução geral que satisfaz as duas condições iniciais. Se estávamos buscando um padrão para quando encontrássemos equações características com raízes repetidas, este aqui é um padrão. Ou seja, agora nós temos um x aqui vezes o e. Isso sempre funciona para equações de segunda ordem homogêneas lineares e com coeficientes constantes. Mas... é isso aí, pessoal! Até a próxima aula!