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Equações diferenciais
Curso: Equações diferenciais > Unidade 2
Lição 1: Equações lineares homogêneasEquações diferenciais lineares homogêneas de 2ª ordem 1
Introdução às equações diferenciais homogêneas, de 2 ª ordem e lineares com coeficientes constantes. Versão original criada por Sal Khan.
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- O vídeo está legendado apenas até. Como eu entendo bem o inglês, não fez diferença para mim, mas achei importante avisar. 5:18(1 voto)
- Estou acompanhando todo o curso até aqui, e em nenhum lugar foi falado de equação característica.
Aosela fala que já vimos em outros vídeos, mas quais? Não deste curso. 0:53(1 voto)- Encontrou algo sobre isso?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA8JV - Nós vamos resolver outro problema de equações diferenciais homogêneas
de segunda ordem. A equação que eu tenho é:
4y" - 8y' + 3y = 0. Eu tenho condições iniciais, eu tenho minha primeira condição,
que diz que y(0) = 2, y'(0) = 1/2. Neste vídeo, eu vou te mostrar
o quão rapidamente você pode resolver esse tipo de problema de uma forma mais mecânica, quando você precisa fazer uma prova
ou algo muito rápido. Se esta é a nossa equação
diferencial original, a equação característica dela,
que a gente já viu em outros vídeos, é: "4r² - 8r + 3 = 0". Bom, se você não se lembra disso,
assista aos vídeos anteriores. Se você quiser resolver isso bem rápido, você substitui a segunda derivada com r², a primeira com "r",
e a função com a constante. Esta é a nossa equação característica. Agora a gente pode resolver as raízes. A gente pode dizer então que a solução que a gente tem é "r = -b ±√b² - 4ac sobre 2a", nada mais do que a fórmula de Bhaskara. Se eu substituir isso,
eu posso dizer, então, se eu substituo com os valores, que r = 8 ±√64, que é 8², menos 4 vezes 4 vezes 3 sobre 8,
que é 2 vezes 4, então, sobre 8. Fazendo aqui embaixo, eu tenho que "r" vai ser 8 ± √64 - 48
dividido por 8. "r" então vai ser igual a 8
mais ou menos raiz, 64 menos 48 é 16,
sobre 8. "r" então vai ser igual a
8 ± 4/8. E aqui a gente vai ter duas soluções, então "r" vai ser igual a 1± 1/2. Estes vão ser os meus valores de "r". Bom, como eu quero saber r₁ e r₂, vou chamar aqui de r',
r' é minha primeira solução. Vai ser 1 + 1 + 1/2, eu tenho então r' como sendo 3/2 e r" vai ser igual a 1/2. Feito isso, lembrando de outros vídeos, a solução
geral dessa equação diferencial, que nós já vimos, é "y"',
que é igual a c₁e³/²ˣ + c₂e¹/²ˣ. Uma vez que você descobre
as raízes de "r", você tem a sua solução geral, e agora a gente só precisa usar
a nossa mesma condição inicial. Vamos fazer y(x) e y'(x). Primeiro, vou começar do final,
vou fazer y'(x). Vamos lá, vou fazer uma outra cor. y'(x) vai ser igual a
3/2c₁e³/²ˣ + 1/2c₂e¹/²ˣ. O que acontece quando "y = 0"? A gente vai ter aqui que c₁e, a gente vai ter um coeficiente zero aqui, então, tudo que é elevado a zero é igual a 1. Então, a gente tem, c₁ + c₂. c₁ + c₂ vai ser 1 + 1,
que vai ser igual a 2, porque aqui eu vou ter 1 novamente, certo? Agora vamos fazer a segunda equação, quando a gente substitui
"x = 0" na derivada. Então a gente tem,
vou fazer aqui em rosa. A gente tem 3/2 vezes c₁
mais 3/2 vezes c₂ igual a 3. Bom, vamos subtrair. Então a gente tem -3/2 + 1/2 igual, a gente tem então, 2/2, que é igual a 1. Então, aqui eu tenho 2/2, que é igual a 1. Perdão, isso aqui é -2
e aqui é -1. Então eu tenho -c₂. Substituindo na nossa equação de cima, como se eu estivesse
fazendo um sisteminha. Eu tenho -c₂, que é igual a -5/2. c₂ então vai ser igual a 5/2. Eu tenho -1 - 1, a gente troca o sinal. Bom, com isso eu tenho c₂, certo? Agora eu tenho que ter o valor de c₁, então eu tenho
c₁ + 5/2 = 2, certo? Então, c₁ é igual a,
fazendo essa continha aqui, a gente tem, 2 é 4/2, então, 4/2 - 5/2, que é igual a -1/2. A gente pegou esse valor aqui de c₂ e substituiu na primeira, ok? Não se confundam. Acho que do jeito que
eu falei ficou meio confuso, mas a gente pegou esse valor de c₂ e substituiu na primeira equação. Vou até marcar aqui, primeira equação. Bom vamos colocar c₁ e c₂
na nossa equação geral para a gente montar a solução particular. Quando a gente faz isso, eu tenho e "y", que é igual a -1/2
vezes "e" elevado a 3/2 de "x" mais 5/2 vezes "e" elevado a 1/2 de "x". Parece ser complicado resolver
esse tipo de equação com "e", e quando a gente tem derivadas,
essas coisas. Mas este problema, nada mais foi que
resolver uma equação de segundo grau, que era a nossa equação característica. Se você tem dúvidas, assista aos vídeos anteriores. Mas isso não foi nada mais do que
as suas aulas de Álgebra 1.