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Equações diferenciais
Curso: Equações diferenciais > Unidade 2
Lição 1: Equações lineares homogêneasEquações diferenciais lineares homogêneas de 2ª ordem 2
Vamos encontrar a solução geral! Versão original criada por Sal Khan.
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- Boa tarde peco ajuda para resolver exercicio 2932 equacoes diferencial de ordem superior que envolve raiz quadrada do livro probelmas e exercicios de Analise Matematica Boris Demitovich(1 voto)
- sou brasileira e o vídeo estava em inglês -_- não ajudou não(0 votos)
- Você deve colocar em português se consisti ficar em Inglês você coloca em dublado ai você pode assisti o vídeo tranquilamente!(0 votos)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal, nesta aula,
nós vamos aprender a resolver, de fato, uma
equação homogênea. Nós já vimos o que é
uma equação homogênea. Agora, vamos resolvê-la de fato. Então, eu vou colocar aqui
uma equação homogênea. A derivada de segunda ordem, mais 5 vezes a derivada de primeira ordem, mais 6 vezes a função, igual a zero. Isso aqui é uma equação homogênea. Mas, para resolver uma equação homogênea você tem que pensar o seguinte: qual é a função que eu vou colocar aqui? E quando eu resolver derivada
de segunda ordem mais 5 vezes a derivado de primeira ordem, mais 6 vezes a função, isso vai dar zero. Então, você tem que pensar o seguinte: pensa em uma função que eu vou substituir aqui e vai dar zero. Por exemplo, se eu substituir x², eu estou pensando na derivada
de segunda ordem de x², mais 5 vezes a derivada
de primeira ordem de x², mais 6 vezes o x². Será que isso vai dar zero? Então, é isso que você tem que pensar. Você tem que pensar em uma função que vai dar zero
quando eu substituir aqui. A única função que eu penso no momento é uma função bem clássica que eu já vi
até em alguns vídeos. Que é a função "e" elevado a "rx",
um "r" qualquer. No caso, "r" vai ser raiz da equação que eu vou chamar
de característica. E eu já vou mostrar para vocês rapidinho. Então, eu vou colocar aqui como solução. Então, a nossa solução vai ser, "y" igual a "e" elevado a "rx". Isso é verdade, porque
se você pegar isso daqui e substituir aqui, isso vai dar zero. Você vai ter que é a derivada
de segunda ordem disso, mais 5 vezes a derivada
de primeira ordem disso, vai acabar dando zero. Isso porque a derivada de primeira ordem vai ser igual a "r" vezes "e" elevado a "rx". E a derivada de segunda ordem vai ser igual a r² vezes "e" elevado a "rx". Então, quando você substituir isso aqui, vai acabar dando zero. Então, vamos ficar com r² vezes "e" elevado a "rx", mais 5 vezes "r" "e" elevado a "rx", mais 6 vezes "e" elevado a "rx", igual a zero. E, fatorando essa equação do lado esquerdo pelo fator comum,
que é "e" elevado a "rx", ficamos com "e" elevado a "rx",
em evidência, que multiplica r² mais 5r + 6 e isso é igual a zero. E, esta aqui, é o que eu disse para vocês que a gente ia chamar
de equação característica. Então, pense comigo. Se duas coisas estão se multiplicando e o resultado está dando zero, então uma das duas está dando zero. Eu não estou interessado muito
nesta parte, somente nesta. Então, nós vamos igualar essa
equação característica aqui a zero, para achar o nosso "r". Então, ficamos com r² + 5r + 6 = 0. E se você fatorar essa equação, você acaba ficando com r + 2 vezes r + 3 = 0. O que nos dá como raízes r = -2 ou r = -3. Essa equação aqui também pode ser resolvida pela fórmula de resolução da equação de segundo grau. Então, temos duas possibilidades
aqui para o "y". E eu vou colocar aqui embaixo. Vou colocar aqui ao lado. Então, y₁ vai ser igual a
"e" elevado a -2x. E y₂ vai ser igual a "e" elevado a -3x. Isso porque achamos r = -2 e substituímos aqui e r = -3 e substituímos aqui. O que vocês devem perceber
é que existe um conjunto de funções que nós vamos derivar
e vai dar isso aqui e, também, isso aqui como soluções. Então, por exemplo, se eu coloco aqui y = 2e elevado a 1rx, também vai chegar em uma constante. Então, vocês devem perceber que qualquer múltiplo desta função
vai ter este modelo aqui de solução. Só que com o múltiplo
aqui na frente e aqui na frente. Então, eu posso chamar
estes múltiplos de C₁ e C₂. Então, colocando C₁ aqui e C₂ aqui. Chegamos a uma solução
que chamamos de solução geral. Então, y(x) vai ser igual a C₁e elevado a -2x, mais C₂e elevado a -3x. Então, essa aqui é a nossa solução geral para a equação homogênea. Nos próximos vídeos, eu vou mostrar que
podemos calcular as constantes C₁ e C₂ se tivermos condições iniciais. Mas, enfim, pessoal.
Até a próxima!