Equações diferenciais lineares homogêneas de 2ª ordem 3

RKA2G - E aí, pessoal! Na aula passada, nós vimos esta equação diferencial homogênea, que tem como solução: y = "e" elevado a rx, que, substituída e fatorada, que, fatorada e resolvida, nos dá esta equação característica, e resolvida nos dá estas soluções, que nos deu isto como solução geral. Mas se, em vez de uma solução geral, buscássemos uma solução particular? Seria possível? Seria, mas, para isso, vamos precisar de condições iniciais. É o que eu vou colocar aqui. Vou repetir a equação diferencial aqui embaixo. A derivada de segunda ordem, mais 5 vezes a derivada de primeira ordem, mais 6 vezes a própria função, isto igual a zero. Com condições iniciais, que eu vou colocar aqui do lado. y(0) = 2 e y'(0) = 3. Para buscar a solução particular, vamos precisar determinar c₁ e c₂ utilizando estas informações. Primeiro, eu vou usar a condição inicial y(0) = 2 na solução geral e vamos ficar com: y(0) = 2. Se eu substituir y(0) na equação, vamos ficar com o seguinte: -2 vezes 0, que vai dar zero, e -3 vezes 0, que também vai dar zero. Consequentemente, isto vai dar 1 e isto também vai dar 1. Portanto, ficamos somente com c₁ + c₂. Igual a c₁ + c₂. Esta vai ser a primeira equação. Agora vamos precisar substituir a segunda condição inicial, que é y'(0) = 3, na derivada da solução geral. Então, vamos precisar primeiro derivar a solução geral. Derivando aqui embaixo: y'(x) = -2c₁, vezes "e" elevado a -2x, -3c₂ vezes "e" elevado a -3x. Pronto, agora temos a derivada da solução geral. Substituindo y'(0) = 3 no lugar de "x", vamos ter a mesma situação que tivemos. Ou seja, -2 vezes 0 vai dar zero e -3 vezes 0 vai dar zero. Consequentemente, isto dá 1 e aqui também dá 1. Então, vamos ficar com: 3 = -2c₁ - 3c₂. E esta é a segunda equação. Agora que temos duas equações, podemos resolver isso com o sistema. Eu vou colocar o sistema aqui em cima. Ficamos com: 2 = c₁ + c₂ e 3 = -2c₁ - 3c₂. Agora, só precisamos resolver este sistema. Para resolver o sistema, você pode utilizar o método que quiser. Eu vou utilizar o método da soma. Vou precisar multiplicar a primeira equação por 2. Multiplicando aqui em cima por 2, vamos ficar com: 2c₁ + 2c₂ igual a 4. E embaixo, da segunda equação, temos: -2c₁ - 3c₂ = 3. Agora, somando as duas equações. Eu vou cancelar isto com isto e vamos ficar com: -c₂ = 7. E, multiplicando ambos os membros por -1, chegamos a um valor de c₂ = -7. Agora já temos o valor de c₂ e podemos substituir em uma das duas equações para determinar o valor de c₁. Eu vou substituir na primeira equação. Vamos ficar com: c₁ + c₂. Mas, como o c₂ vale -7, teremos: c₁ - 7 = 2. Resolvendo isto, chegamos a um valor de c₁ = 9. Já temos o c₁ e c₂, podemos substituir, c₁ e c₂, na solução geral. E aí vamos poder achar a solução particular. Vou colocar aqui que a solução particular vai ser igual a: vamos chamar de y(x) = 9 vezes "e" elevado a -2x, menos 7 vezes "e" elevado a -3x (porque o c₂ vale -7). Bem, com isso, nós determinamos a solução particular e você viu que não é tão complicado, desde que você tenha a solução geral e condições iniciais. É isso aí, pessoal. Até o próximo vídeo!