Equações diferenciais lineares homogêneas de 2ª ordem 4

RKA4JL - Vamos resolver mais outra equação diferencial homogênea de segunda ordem. A equação que eu tenho para a gente resolver é a seguinte: eu tenho 4y'' mais 8... Perdão, -8y' mais 3y igual a zero. Eu tenho condições iniciais que dizem que y(0) é igual a 2 e y'(0) é igual a ½. Neste vídeo vou mostrar o quão rápido a gente consegue fazer esses problemas de uma forma mais mecânica. Se 4y'' menos 8y' mais 3y igual a zero é a nossa equação original, a nossa equação característica vai ser, então... Vou fazer isso aqui. Vai ser 4r² menos 8r mais 3 e isso igual a zero. Se você não lembra disso, assista aos outros vídeos para saber de onde eu tirei essa equação característica. Se quiser resolver este problema rapidamente, você apenas substitui a segunda derivada com r², a primeira com r e a terceira com o termo constante, exatamente como fiz aqui, e isso aqui vai ser a nossa equação característica. Agora vamos nos concentrar em encontrar as raízes dessa equação. Para fazer isso eu vou utilizar a fórmula de Bhaskara, vou fazer a equação quadrática. Então a gente tem aqui... Eu tenho r, que vai ser igual a -b, mais ou menos a raiz de ((b² menos 4ac) dividido por 2a). Vamos substituir. Eu vou ter aqui -b, então a gente tem menos com menos, aqui vai ser 8 e aqui mais ou menos a raiz de b², que é 64, menos 4 vezes a, que é 4 também, vezes c, que é 3, e isso aqui dividido por 2a, que vai ser 8. 2 vezes 4, 8. Então a gente tem que r vai ser igual a 8 mais ou menos a raiz de 64 menos (4 vezes 4 vezes 3 é 48), e isso aqui dividido por 8 vai ser, então, 8 mais ou menos (64 menos 48 é 16) sobre 8. Então continuando aqui nós temos 8 mais ou menos raiz de 16, que é 4, dividido por 8. r vai ser igual a 1 mais ou menos ½. Minhas duas raízes dessa equação. As duas soluções que eu vou ter vão ser, então (deixe-me colocar aqui) r vai ser igual 1 mais ½, tenho aqui 3/2 e tenho aqui 3/2 e ½. Essas são as duas soluções. Agora que a gente sabe as raízes e que a gente lembra as coisas das outras aulas, a gente pode montar a solução geral para a nossa equação. Deixe-me pegar um espaço aqui. Vamos fazer aqui embaixo de outra cor. A gente tem que y é igual a c₁ que multiplica "e" elevado a (3/2x) mais c₂ que multiplica "e" elevado a (e aqui a gente tem a nossa outra solução) ½x. Este problema com a equação diferencial foi apenas um exercício com uma equação quadrática. Assim que descobre as raízes, você consegue montar a solução geral. Agora a gente só precisa usar as nossas condições iniciais. A gente precisa saber y(x) e y'(x). Deixe-me marcar aqui que a gente precisa de y'(x) e y(x). Então vamos fazer isso. Vamos fazer y'(x). Deixe-me fazer em vermelho. Então tenho que y'(x) vai ser igual... A gente vai ter 3/2 que multiplica c₁e elevado a (3/2x) mais ½ que multiplica c₂e elevado a (½x). Vamos usar a nossa condição inicial agora. O que acontece quando x é igual a zero? Quando x é igual a zero, vou ter aqui c₁ mais c₂, que é igual a 2. Então agora vamos usar a nossa segunda equação. Quando x é zero, a gente tem... Quando x é zero a gente tem 3/2 de c₁ mais ½ de c₂ e isso aqui é igual a ½. Agora a gente tem duas equações e duas coisas desconhecidas. A gente pode resolver de diversas formas. Vamos multiplicar a primeira equação por 3/2. A gente vai ter, vamos ver.... Deixe-me fazer até de outra cor. Eu vou ter aqui.... Vou fazer aqui embaixo. Vou ter 3/2 de c₁ mais 3/2 de c₂ (estou multiplicando essa primeira equação aqui) e isso aqui vai ser igual a 3. Agora a gente pode subtrair. Vamos fazer isso para a gente poder subtrair. Fazendo isso, vamos lá, eu vou ter aqui 3/2 menos 3/2. Então vou ter zero. Aqui eu tenho -c₂. ½ menos 3/2, -c₂. Isso vai ser igual a -5/2. Então aqui eu vou ter c₂ que vai ser igual a 5/2, certo? Agora a gente pode substituir de volta na primeira equação. Eu vou fazer isso aqui em cima. Fazendo isso na primeira equação a gente tem c₁ mais 5/2, que é igual a 2. Então c₁ vai ser igual a 4/2. A gente tem 2 aqui, então 4/2, menos 5/2 (só estou fazendo isso para a gente ter o cálculo bem mais fácil). Isso aqui vai ser a -½. Agora é só substituir c₁ e c₂ na nossa solução geral para a gente encontrar a nossa solução particular dessa equação. Então eu vou pegar aquele espaço e vou fazer aqui embaixo. Vou fazer em amarelo. Então a gente tem aqui que y é igual a -½, colocando as nossas condições, -½ de "e" na (3/2x) mais 5/2 vezes "e" na (½x). Então essa aqui é a nossa solução particular que a gente encontrou utilizando as condições iniciais. E a gente acabou. Pode parecer meio chique essa resposta porque a gente tem na solução "e" e a gente pegou derivadas, mas no final esse problema foi resolver, basicamente, uma equação de segundo grau, que é a equação característica, onde a gente tinha y, a segunda derivada de y que virou r², a primeira derivada virou r, e y ficou igual a 1. Fazendo isso a gente teve a nossa solução geral que foi bem rápida, bem fácil. Quando usamos as condições iniciais, a gente descobriu c₁ e c₂ e achou a solução particular para essa equação diferencial. Era isso. Até mais!