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Transcrição de vídeo

vamos resolver mais outra equação diferencial homogênea de segunda ordem bom assim a equação que eu tenho pra gente resolver é a seguinte eu tenho quatro y duas linhas mais oito ou perdão - -8 y linha mais três ep's com igual a zero e eu tenho condições iniciais que dizem que y10 y de zero é igual a 2 e y linha de zero é igual a um meio nesse vídeo vou te mostrar o quão rapidamente a gente consegue fazer esses problemas de uma forma mais mecânica 11/4 y duas linhas - oito y linha mais três opções igual a zero é a nossa equação original a nossa equação característica ela vai ser então é vou fazer isso aqui vai ser 4 r quadrado - 8r mais três mais três isso aqui é igual a zero certo se você não lembra disso assista a outros vídeos para saber de onde eu tirei essa equação característica se você quiser resolver esse problema rapidamente você apenas substitui a segunda derivada com r quadrado a primeira com r a terceira com o termo constante exatamente como fiz aqui e isso aqui vai ser a nossa equação característica bom agora vamos nos concentrar em encontrar as raízes dessa equação bom pra fazer isso eu vou utilizar a forma de base que eu vou fazer a equação com a drástica então a gente tem aqui vamos resolver eu tenho r que vai ser igual a menos b mais ou menos raiz gb quadrado - 4 a ser dividido por 2 a 1 como substituir então eu vou ter aqui é menos b então a gente tem menos com menos vai ser oito aqui mais ou menos raiz db quadrado que é 64 menos quatro vezes a g4 também vezes e que três vezes e que três isso aqui / 2 aqui vai ser 8 duas vezes 48 ok então a gente tem que r vai ser igual a 8 mais ou menos a raiz de 64 menos quatro vezes quatro vezes três a 48 isso aqui / 8 que vai ser então oito mais ou menos 64 - quarenta e oito a 16 sobre 8 então a gente continuando aqui nós temos oito mais ou menos sair de 16 que é 4 / 8 r então vai ser igual a um mais ou menos o meio minhas duas raízes dessa equação as duas soluções que eu vou ter vão ser então chamar aqui r vai ser igual então um mais um meio tem aqui três meios e tem aqui três meias e um meio essas são as duas soluções bom agora que a gente sabe as raízes e que a gente lembra coisas das outras aulas a gente pode montar a solução geral para a nossa equação espaço aqui vamos fazer aqui embaixo fazer de outra cor bom a gente tem que ir psi long é igual então a c1 que multiplica e vezes é três meios de x + c 2 que multiplica ele é que a gente tem a nossa outra solução um meio de x esse programa constam diferencial foi apenas um exercício com uma equação com a prática e assim que você descobre as raízes você consegue montar a solução geral agora a gente só precisa usar as nossas condições iniciais a gente precisa saber y de x e y linha de x marcar aqui de y linha de x e y dx certo então vamos fazer isso vamos fazer y linha de x vou fazer aqui em vermelho então tem que ir psi não linha de x vai ser igual então a gente vai ter três meios que multiplica c1 na e aqui eu tenho elevada três meios de x mais um meio de que multiplica c2 que aqui eu tenho e levado a um meio de x bom vamos usar a nossa condição inicial agora o que acontece quando x é igual a zero quando x igual a zero vou ter aqui serão mais e 2 que é igual a 2 então agora vamos usar a nossa segunda equação quando x 0 a gente tem um conselho aqui quando x a 0 a gente tem três meios descer 1 mas um meio de cd 2 isso aqui é igual a um meio agora a gente tem duas equações e duas coisas desconhecidas a gente pode resolver de diversas formas isso é vamos multiplicar a primeira com a ação por três meios daí a gente vai ter vamos ver aqui é vou fazer uma outra cor é eu vou ter aqui vou fazer aqui em baixo vou ter três meios de c1 mas três meios de c2 estão explicando essa primeira equação aqui isso aqui vai ser igual a 3 isso é que vai ser igual a 3 rock agora a gente pode subtrair então é vamos fazer sim pegar aqui a gente pode subtrair fazendo isso vamos lá eu vou ter aqui então é três meias - três meios então voltei 0 aqui eu tenho - c2 um meio menos três meias - c2 isso é que vai ser igual a menos cinco meios então aqui eu vou ter c 2 que vai ser igual a 5 meio certo agora a gente pode substituir de volta na primeira equação eu vou fazer isso aqui em cima fazendo isso na primeira com a ação a gente tem que ser um mais cinco meios que é igual a 2 então se um vai ser igual é quatro meios a gente tem dois aqui quatro meios menos cinco meses é que estou fazendo isso pra gente ter o cálculo bem mais fácil e isso é que vai ser gota então a menos um meio agora é só substituição em c2 na nossa solução geral para a gente encontrar a nossa solução particular dessa dessa equação então é eu vou pegar aquele espaço vou fazer aqui embaixo fazerem amarelo então a gente tem aqui que y é igual a menos um meio colocando as nossas condições - um meio de e na três meios de x mas cinco meios vezes e na um meio de x então é essa aqui é a nossa solução particular que a gente encontrou utilizando as condições iniciais ea gente acabou pode parecer meio chico essa resposta porque a gente tem na solução e ea gente pegou derivadas mas no final esse problema ele foi resolver basicamente uma equação de segundo grau que a equação característica onde a gente tinha o y a segunda derivada de y que virou r quadrado a primeira de elevada virou r y ficou igual a 1 e fazendo isso a gente teve já a nossa solução geral que foi bem rápido bem fácil quando a gente usa as condições iniciais a gente descobriu seu ec2 ea gente achou a solução particular para essa equação diferencial bom era isso e até mais