Coeficientes indeterminados 1

RKA3JV - E aí, pessoal. Nesta aula, estamos prontos para resolver uma equação linear não homogênea de segunda ordem, com coeficientes constantes. Mas o que significa isso? Significa resolver uma equação da forma que eu vou colocar aqui. Uma constante "A" vezes a derivada de segunda ordem, mais "B" vezes a derivada de primeira ordem, mais uma constante "C" vezes a própria função. Isso vai ser igual a uma função e g(x) Mas, antes de dar um exemplo, eu quero falar para vocês que a solução de uma equação não homogênea é a solução particular mais uma solução homogênea. E eu vou colocar isso aqui para vocês. Então, vamos dizer que "h" é a solução da equação homogênea. Então, "h" é solução da equação homogênea. Então, quando eu colocar "h" aqui, deste lado direito, vai dar zero. Então, eu vou colocar aqui que Ah'' + Bh' + Ch isso vai ser igual a zero. Então, é isso que significa dizer que "h" é solução da equação homogênea. E para resolver a equação homogênea você só precisa achar a equação característica. E aí, você acha a solução da equação e você acha a solução geral dessa equação aqui. Então, vamos dizer que eu tenha uma solução particular que eu vou chamar de j(x). Isso significa que quando eu colocar o "j" aqui, do lado direito vai dar g(x). Então, vamos ficar com Aj'' + Bj' + Cj e isso vai ser igual a g(x). Isso significa ser solução particular. Então, eu vou escrever aqui do lado que j(x) é uma solução particular. E o que eu estou querendo dizer para vocês é que se eu substituir h + j, isso vai ser solução para essa equação aqui. Então, digamos que eu substitua h + j na equação, que é o que eu vou fazer aqui. Substituindo, vamos ter A (h'' + j'') + B (h' + j') + C (h + j) O que eu quero que vocês percebam é que se eu resolver isso aqui, eu vou ficar com, eu vou aplicar a distributiva aqui, aqui e aqui. E ajeitando isso, eu vou ficar com Ah'' + Bh' + Ch. Eu vou mudar de cor aqui para você ver uma coisa interessante. Então, mais Aj'' + Bj' + Cj. O que eu quero que você perceba é que isso é igual a isso aqui. Ou seja, é a solução homogênea. E que isso aqui é igual a g(x). Então, eu vou colocar aqui para vocês que essa parte aqui é igual a zero. E esta outra parte, que eu vou colocar em outra cor diferente para você ver melhor, essa parte aqui, vai ser igual a g(x). Então, eu vou colocar aqui ao lado uma função que eu vou chamar de K(x). E essa função K(x) vai ser igual a h(x) + j(x). Então, essa função vai ser solução para essa equação aqui, não homogênea. Então, eu vou descer aqui um pouquinho e vou colocar um exemplo para vocês. Eu vou colocar a seguinte equação. A derivada de segunda ordem, menos 3 vezes a derivada de primeira ordem, menos 4 vezes a função, igual a 3e elevado a 2x. E para determinar a solução homogênea, eu vou colocar isso daqui é igual a zero. Então, eu vou colocar a derivada de segunda ordem menos 3 vezes a derivada de primeira ordem, menos 4 vezes a função, igual a zero. Eu vou resolver isso daqui utilizando a equação característica. Então, eu vou colocar r² - 3r - 4 = 0. Se fatorarmos isso daqui, vamos ficar com (r - 4) (r + 1) = 0. O que nos dá como solução r = 4 ou r = -1. Chegando em uma solução geral y₁ = C₁e⁴ˣ + C₂e⁻ˣ Portanto, já temos a solução geral desta equação homogênea aqui. Agora, vamos em busca de uma solução particular. E para determiná-la, nós vamos utilizar um método que chamamos de método dos coeficientes indeterminados. Mas o que significa isso? Significa que se eu resolver essa equação aqui para achar alguma solução particular, essa solução particular vai ser alguma coisa vezes e²ˣ. Ou seja, se eu resolver a segunda derivada e somar ou subtrair com múltiplos da primeira derivada, e somar e subtrair com o múltiplo da função, isso vai ser igual a alguma coisa. Ou seja, um múltiplo vezes e²ˣ. Então, eu vou colocar aqui que a nossa solução particular, que eu vou chamar de y(p), vai ser igual a um múltiplo, que eu vou chamar de "A" vezes "e²ˣ que tem como derivada y'(p) = 2Ae²ˣ Também como derivada de segunda ordem y''(p) igual a 4Ae²ˣ E substituindo isso aqui, aqui. E resolvendo para "A", vamos ter 4Ae²ˣ menos 6Ae²ˣ Aqui ficou -6, porque eu multipliquei por -3 isso daqui. E aí, chegamos no -6. Então, isso tudo menos 4Ae²ˣ igual a 3e²ˣ E aí, poderemos cancelar isso daqui e isso daqui. E se dividirmos ambos os membros da equação por "e²ˣ", também vamos poder cancelar estes termos aqui. Então, ficamos com -6a = 3. E, resolvendo isso, chegamos a um valor de A = -1/2. Então, já temos o valor de "A" e podemos substituir aqui para achar nossa solução particular. E, substituindo, ficamos com -1/2e²ˣ E, finalmente, podemos determinar a solução da equação não homogênea, que é a solução homogênea mais a solução particular. Então, vamos ficar com y = C₁e⁴ˣ mais C₂e⁻ˣ mais a nossa solução particular, que é -1/2e²ˣ Bem, como você viu, é fácil resolver uma equação não é homogênea. E nos próximos vídeos, veremos casos que do lado direito aqui não recai em uma função tão simples, e sim em casos mais complexos como funções trigonométricas. Enfim, outros tipos de funções. É isso aí, pessoal! Até o próximo vídeo!