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Coeficientes Indeterminados 2

Outro exemplo de utilização de coeficientes indeterminados. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Vamos fazer mais equações não homogêneas e aqui a gente vai pegar o mesmo problema que já havia visto em outros vídeos, mas a gente vai mudar o lado direito porque eu acho que você já sabe como resolver uma versão homogênea. Então é o mesmo problema que a gente já resolveu no último vídeo. A gente tem a seguinte equação: a segunda derivada de y menos 3y’ menos 4y e aqui a gente tem igual a... Aqui vamos usar uma função trigonométrica diferente de outros vídeos. Então aqui a gente pode colocar que isso aqui é igual a 2 seno de x. O primeiro passo é resolver a equação homogênea. Então o lado esquerda da equação é igual a zero. Isso é feito através de uma equação característica. A equação característica que a gente já viu é r² menos 3r menos 4, que é igual a zero. Aqui as soluções são r igual a 4 e r igual a -1. Então nós temos a solução geral. A gente fez isso no último vídeo. Se você tiver dúvidas é só assistir. Então eu vou chamar a solução da equação homogênea de yᴴ e ela vai ser c₁ e⁴ˣ mais c₂ e⁻ˣ. Até aqui tudo certo, mas para a gente obter a solução geral da equação não homogênea eu tenho que usar a solução da equação homogênea e preciso adicioná-la a uma solução particular que satisfaça a nossa equação que a gente viu aqui no começo. Aqui a gente tem que usar os nossos coeficientes indeterminados novamente. Qual é a função, quando eu faço a sua segunda e sua primeira derivadas e adiciono e subtraio múltiplos delas, que me dá o resultado sen(x)? Duas funções resultam em sen(x). Quando você pega a primeira e segunda derivadas. São elas: sen(x) e cos(x). Essa é uma boa suposição e é isso que se faz com o método dos coeficientes indeterminados: você supõe uma solução particular e resolve para esses coeficientes indeterminados. Digamos que nosso chute seja y igual... Vamos ver aqui. Vamos dizer que y é igual a algum coeficiente vezes sen(x). Eu quero que sen(2x), ou talvez cos(2x), ainda exista. Se na nossa primeira equação fosse sen(2x), não teria nada que eu pudesse fazer para começar com sen(x) e para terminar com sen(2x). Então o que quer que seja isso, eu o quero aqui. Eu posso dizer, então, que tenho y igual a A sen(x) mais algum coeficiente indeterminado vezes o que eu vou chamar aqui de B vezes o cos(x). Agora vamos descobrir as nossas primeira e segunda derivadas. A primeira derivada (deixe-me fazer de uma cor diferente), a primeira derivada seria A cos(x) menos B sen(x). Essa é a nossa primeira derivada. Agora a segunda derivada seria -A sen(x) menos B cos(x). Você está começando a ver o que é mais difícil na maioria dos problemas com equações diferenciais: o mais difícil é não cometer erros por distração. Vamos pegar isso que a gente acabou de fazer, substituir na nossa equação não homogênea e vamos ver se conseguimos resolver A e B. A segunda derivada a gente já tem, que é isso o que a gente viu aqui no começo. Eu vou reescrever aqui embaixo para você ver o que eu estou fazendo. Então vamos dizer... (Deixe-me pegar uma outra cor). Eu tenho aqui -A sen(x) menos B cos(x) e isso é igual a y'', certo? Agora tenho -3, que foi o coeficiente que a gente viu antes, então eu tenho... Perdão, eu tenho 3, e não -3. A gente tem que se cuidar para não cometer esses erros bobos. A gente tem 3 vezes A cos(x) menos B sen(x). Eu vou multiplicar aqui. Então eu tenho 3B sen(x) menos 3A cos(x). Agora eu tenho que usar -4, meu coeficiente -4. Então eu tenho que multiplicar aqui por -A sen(x), então eu tenho -4A sen(x) menos 4B cos(x). Quando eu faço essa soma... Quando eu faço essa soma, que é o lado esquerdo dessa equação, eu tenho que isso vai ser igual a 2 sen(x), certo? Se eu tivesse escrito tudo isso em uma linha só ficaria muito confuso. Dessa maneira fica mais fácil da gente somar os senos de x com os cossenos de x. Se eu somar todos os coeficientes de sen(x) terei... Vamos ver, eu tenho -5A mais 3B, isso aqui vezes sen(x), e tenho aqui -3A menos 5B (deixe-me fazer isso aqui embaixo) vezes cos(x). Isso aqui tem que ser igual a 2 sen(x). Agora como que encontro os valores de A e B? -5A mais 3B deve ser igual a 2, certo? -3A menos 5B deve ser igual a cos(x). Aqui do outro lado o coeficiente seria mais zero vezes cos(x), por isso que é igual a cos(x). Isso configura um sistema de duas variáveis com duas equações, ou seja, tenho um sistema linear. Vamos montar esse sisteminha. O nosso sistema linear seria então -5A mais 3B igual a 2, que falei antes, e -3A menos 5B igual a zero. Vamos ver se eu consigo simplificar um pouco isso. Se eu multiplicar a equação de cima por 5/3, eu vou ter... Vamos fazer vezes 5/3. Eu teria (-25A sobre 3) mais 5B igual a 10/3. Embaixo eu teria -3A (eu não mudei nada, então -3A) menos 5B igual a zero. Se eu somar as duas (Isso aqui vai ficar um pouquinho mais feio do que eu achava que ia ficar). Então se eu somo as duas (deixe-me fazer aqui em cima). Se somo as duas eu tenho -25/3 menos 9/3 e isso aqui vezes A é igual a 10/3. Isso aqui vai ser igual a -34/3 A, que é igual a 10/3. A vai ser igual a 10/34, que vai ser igual a -5/17 (Esse número que ficou aqui é bem feio, não é?) Vamos resolver B. Então ele vai ser -3 vezes -5/17 menos 5B e isso aqui é igual a zero (deixe-me fazer uma setinha no B). B vai ser igual a 15/17 e vai ser positivo. Isso aqui é igual a 5B e B vai ser igual, então, a 3/17. A gente encontrou o valor de A e o valor de B. Nossa, que coisa mais feia que ficou isso, mas pelo mais ou menos agora a gente tem uma solução particular. A nossa solução particular vai ser yp, que vai ser igual a -5/17 sen(x) mais 3/17 cos(x). Se a gente olhar o nosso problema original, a solução geral para a equação não homogênea seria aquela que a gente viu lá em cima. Seria essa solução aqui. A gente encontrou nossa solução do problema pelo método dos coeficientes indeterminados, então se você pegar essa equação aqui com essa solução e com a nossa solução particular e as adicionar, você tem o seu problema resolvido.