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Coeficientes Indeterminados 4

Juntando tudo! Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA1JV - Antes de seguir para o método dos coeficientes indeterminados, eu quero mostrar para vocês algo realmente útil. Vamos dizer que eu tenha aqui uma equação não homogênea da fórmula y'' - 3y' - 4y = 3e²ˣ + 2sen(x) + 4x² . Você deve olhar para essa equação e pensar que ela é quase impossível de se resolver. Mas como eu tinha visto com vocês, que uma solução de uma equação não homogênea, na verdade, era a solução particular mais a solução homogênea, então, o que a gente tem que fazer aqui é pensar o seguinte: igualar essa função a essa aqui para determinar a equação particular dela. E depois igualar essa a essa outra função e achar a solução particular. Por fim, essa aqui, igualar a essa e achar a solução particular. Mas, antes disso, eu preciso achar a equação homogênea. Eu vou colocar aqui, a equação homogênea vai ser a derivada de segunda ordem menos 3y' menos 4y igual a zero. E a solução geral da equação homogênea vai ser y = c₁e⁴ˣ + c₂e⁻ˣ. E essa aqui é a nossa solução homogênea, agora, eu preciso achar soluções particulares para essa equação aqui. A primeira solução particular que eu vou achar vai ser igualando esse lado esquerdo aqui a esse lado direito aqui, que é essa função. Para isso, eu considero todas as outras funções como zero. Vou colocar aqui. Vamos ter a derivada de segunda ordem menos 3 vezes a derivada de primeira ordem menos 4y igual a 3e²ˣ. Já vimos como achar a solução particular dessa equação homogênea. Vamos ter como solução particular "y" de "p" igual a -1/2e²ˣ. E, agora, eu vou pegar a segunda função e vou colocar a segunda função. Eu vou colocar aqui que é a derivada de segunda ordem menos 3 vezes a derivada de primeira ordem, menos 4 vezes a função é igual a 2 vezes o seno de "x". E que vai me dar como solução particular "y" de "p" igual a -5/17, seno de "x" mais 3/17 do cosseno de "x". Agora, eu pego de novo e igualo a essa função. Vou colocar cada solução particular de uma cor para você identificar isso no final. Eu vou colocar que a derivada de segunda ordem menos 3 vezes a derivada de primeira ordem, menos 4 vezes a função é igual a 4x². E com solução particular, "y" de "p" igual a -x² mais 3/2x, menos 13/8. Para achar a solução dessa equação aqui, a solução dela, na verdade, vai ser o quê? A soma das soluções particulares mais a solução homogênea. Eu vou colocar aqui a solução da equação não homogênea. A ordem vai ser "y" igual à solução homogênea, que é c₁e⁴ˣ mais c₂e⁻ˣ, mais a soma das nossas soluções particulares. Vou colocar essa aqui primeiro, -1/2e²ˣ mais essa aqui, essa solução particular. Então, -5/17 de seno de "x", mais 3/17 do cosseno de "x', mais a última solução particular. Então, -x² + 3/2x - 13/8. Essa equação aqui parecia bem intimidadora para você, mas com esse método aqui, você consegue resolvê-la tranquilamente. Nos próximos vídeos, nós vamos ver outros métodos de resolução de equações não homogêneas. Enfim, pessoal, até a próxima!