Função Afim

Neste artigo, vamos desenvolver a sistematização do conceito de função afim explorado ao longo da lição. Essa função é uma das mais comuns em nosso cotidiano, e vamos explorá-la com representações via tabela, gráfico e expressão algébrica, para que fique claro o seu significado.

O lucro de uma empresa é dado pela diferença entre o valor arrecadado pela venda dos produtos e o custo envolvido na produção deles. Uma determinada empresa comercializa um certo produto a $\text{R}\mathrm{\$}2,00$‍ a unidade e apresenta um custo composto de duas partes: um custo fixo de $\text{R}\mathrm{\$}1500,00$‍ e um custo variável de $\text{R}\mathrm{\$}0,25$‍ por unidade produzida.

Vamos estabelecer, inicialmente, uma expressão para cada situação.

Valor arrecadado: $f(x)=2x$‍

Custo: $g(x)=1500+0,25x$‍

Lucro: $h(x)=f(x)-g(x)=2x-(1500+0,25x)=2x-0,25x-1500$‍

A partir da lei de formação da função, pode-se utilizar a representação via tabela para determinar o lucro envolvido para algumas quantidades de produtos.

Podemos pensar, agora, qual quantidade mínima desse produto deve ser comercializada para que se obtenha lucro com sua venda.

Para responder a esse questionamento, o gráfico dá uma boa visualização:

A representação gráfica de uma função afim é sempre uma reta, pois representa uma proporção. É possível perceber que, a partir de $100$‍ peças vendidas, existirá lucro e que, quanto maior for o numero de vendas, maior será esse lucro.

Um funcionário trabalha em uma loja de roupas e ganha um salário que é calculado da seguinte forma: salário fixo de $\text{R}\mathrm{\$}2000,00$‍ mais uma comissão de $1\mathrm{\%}$‍ sobre o valor vendido. Vamos calcular o valor do salário se ele conseguir vender $\text{R}\mathrm{\$}5000,00$‍, $\text{R}\mathrm{\$}50000,00$‍, e $\text{R}\mathrm{\$}100000,00$‍.

Podemos generalizar a função para um valor de vendas qualquer:

onde $x$‍ é o valor vendido no mês pelo funcionário.

É possível que esse salário chegue a $\text{R}\mathrm{\$}5000,00$‍?

Para acharmos essa resposta, devemos pensar que $S(x)=5000$‍:

Logo, se esse funcionário fizer um total de vendas de $\text{R}\mathrm{\$}300000,00$‍, terá um salário de $\text{R}\mathrm{\$}5000,00$‍.

O que esses dois primeiros exemplos têm em comum? São funções crescentes, ou seja, quanto maior a venda, maior é o ganho.

Vejamos agora um exemplo de função do $1$‍º grau decrescente.

Vamos considerar o ralo de uma piscina que escoa $1000$‍ litros de água por hora. Podemos pensar em alguns dados:

Se a piscina tinha inicialmente $16000$‍ litros, podemos estabelecer uma função para a quantidade de água que sobra dentro da piscina de acordo com o tempo que o ralo fica aberto.

Marcando esses pontos em um gráfico, temos:

Olhando para o gráfico, podemos dizer em que momento a piscina estará completamente vazia? E quando estará pela metade?

Para responder a essas perguntas, vamos ligar os pontos do gráfico e ligá-lo ao eixo $x$‍.

A piscina ficará vazia após $16$‍ horas e ficará pela metade após $8$‍ horas.

É possível estabelecer uma função que nos dê esses resultados:

onde $16000$‍ é o volume inicial da piscina e $1000$‍ é o número de litros que sai da piscina depois de $t$‍ horas.

Quanto mais o tempo passa, menos litros de água ficam dentro da piscina.

Esse tipo de comparação se assemelha a uma regra de três inversamente proporcional, que aqui representa uma função afim decrescente.

Generalizando:

Uma função $f(x)=ax+b$‍, com $a\ne 0$‍, é uma função real e representa uma função do 1º gra ou função afim. Funções do 1º grau têm uma ideia de proporção e podem ser crescentes, quando $a>0$‍, ou decrescentes, quando $a<0$‍. Seu gráfico é sempre uma reta, e a inclinação dessa reta será positiva quando crescente e negativa quando decrescente.