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Matemática EM: Álgebra 1

Curso: Matemática EM: Álgebra 1 > Unidade 7

Lição 8: Análise dos valores assumidos pela função quadrática
Matemática
Matemática EM: Álgebra 1
Função quadrática
Análise dos valores assumidos pela função quadrática
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Revisão sobre a representação gráfica de expressões do segundo grau

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O gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola, que é uma curva em forma de "u". Neste artigo, vamos revisar como fazemos o gráfico de funções do segundo grau.
O gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola, que é uma curva em forma de "u":
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um. O gráfico representa a função x ao quadrado. A função é uma parábola com concavidade voltada para cima. A função diminui passando pelos pontos dois negativo, quatro e um negativo, um. O vértice da função está plotado em zero, zero e, então, a função aumenta passando pelos pontos um, um e dois, quatro.
Neste artigo, vamos revisar como fazer o gráfico de funções do segundo grau.
Quer ver uma introdução às parábolas? Confira este vídeo.

Exemplo 1: forma canônica

Faça o gráfico da equação.
y, equals, minus, 2, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared, plus, 4
Esta equação está na forma canônica.
y, equals, start color #e07d10, a, end color #e07d10, left parenthesis, x, minus, start color #11accd, h, end color #11accd, right parenthesis, squared, plus, start color #1fab54, k, end color #1fab54
Esta forma revela o vértice, left parenthesis, start color #11accd, h, end color #11accd, comma, start color #1fab54, k, end color #1fab54, right parenthesis, que, em nosso caso, é left parenthesis, minus, 5, comma, 4, right parenthesis.
Ela também revela se a abertura da parábola fica para cima ou para baixo. Como start color #e07d10, a, end color #e07d10, equals, minus, 2, a abertura da parábola fica para baixo.
Isso é suficiente para começar a esboçar o gráfico.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um. O gráfico representa a função menos dois vezes a soma de x mais cinco ao quadrado, mais quatro. A função é uma parábola com concavidade para baixo. O vértice da função está plotado no ponto três negativo, quatro e há pequenas curvas saindo em direção ao resto da função.
Esboço incompleto de y=-2(x+5)^2+4
Para concluí-lo, precisamos encontrar outro ponto na curva.
Vamos inserir x, equals, minus, 4 na equação.
y=−2(−4+5)2+4=−2(1)2+4=−2+4=2\begin{aligned} y&=-2(-4+5)^2+4\\\\ &=-2(1)^2+4\\\\ &=-2+4\\\\ &=2 \end{aligned}
Portanto, outro ponto na parábola é left parenthesis, minus, 4, comma, 2, right parenthesis.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um. O gráfico representa a função menos dois vezes a soma de x mais cinco ao quadrado mais quatro. A função é uma parábola com concavidade para baixo. O vértice da função está plotado no ponto três negativo, quatro. Outro ponto está plotado em quatro negativo, dois.
Gráfico final de y=-2(x+5)^2+4
Quer ver outro exemplo? Confira este vídeo.

Exemplo: forma não canônica

Faça o gráfico da função.
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, minus, 6
Primeiro, vamos encontrar os zeros da função, ou seja, vamos descobrir onde o gráfico de y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis cruza o eixo x.
g(x)=x2−x−60=x2−x−60=(x−3)(x+2)\begin{aligned} g(x)&=x^2-x-6 \\\\ 0&=x^2-x-6 \\\\ 0&=(x-3)(x+2) \end{aligned}
Então, nossas soluções são x, equals, 3 e x, equals, minus, 2, o que significa que os pontos left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis e left parenthesis, 3, comma, 0, right parenthesis ficam onde a parábola cruza o eixo x.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um. Os pontos dois negativo, zero e três, zero estão plotados.
Para desenhar o restante da parábola, é interessante encontrar o vértice.
Parábolas são simétricas, então podemos encontrar a coordenada x do vértice calculando a média das interceptações em x.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um. Os pontos dois negativo, zero e três, zero estão plotados. Um ponto está plotado no meio desses pontos em zero vírgula cinco, zero.
A média de -2 e 3 é 0,5; que é a coordenada x do nosso vértice.
Com a coordenada x revelada, podemos encontrar o valor de y substituindo-a na equação original.
g(0,5)=(0,5)2−(0,5)−6=0,25−0,5−6=−6,25\begin{aligned} g(\blueD{0{,}5})&=(\blueD{0{,}5})^2-(\blueD{0{,}5})-6 \\\\ &=0{,}25-0{,}5-6 \\\\ &=-6{,}25 \end{aligned}
Nosso vértice fica em left parenthesis, 0, comma, 5, ;, minus, 6, comma, 25, right parenthesis, e nosso gráfico final ficou assim:
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um. O gráfico representa a função x ao quadrado menos x menos seis. A função é uma parábola com concavidade voltada para cima. O vértice da função está plotado no ponto zero vírgula cinco, seis vírgula vinte e cinco negativo. As interceptações em x também estão plotadas em dois negativo, zero e três, zero.
Gráfico de y=x^2-x-6
Quer ver outro exemplo? Confira este vídeo.

Prática

Problema 1
  • Atual
Faça o gráfico da equação.
y, equals, 2, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis

Quer praticar mais a representação gráfica de expressões do segundo grau? Confira esses exercícios:

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