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Matemática EM: Álgebra 1
Curso: Matemática EM: Álgebra 1 > Unidade 7
Lição 8: Análise dos valores assumidos pela função quadrática- Formas e características de funções do segundo grau
- Exemplos solucionados: formas e características das funções do segundo grau
- Características de funções do segundo grau: estratégia
- Vértice e eixo de simetria de uma parábola
- Como encontrar as características das funções do segundo grau
- Características das funções do segundo grau
- Faça o gráfico de parábolas em todas as formas
- Interprete modelos de segundo grau: forma fatorada
- Interprete modelos de segundo grau: forma canônica
- Interpretação de modelos de segundo grau
- Revisão sobre a representação gráfica de expressões do segundo grau
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Interprete modelos de segundo grau: forma canônica
Dada uma função de segundo grau que modela uma relação, podemos reescrever a função para revelar determinadas propriedades da relação. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2JV - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula, vamos
aprender como determinar o vértice de uma
função quadrática utilizando a fórmula
do vértice. Para isso, temos
o seguinte aqui. Thiago abriu
um restaurante. O valor líquido do restaurante
(em milhares de reais), "t" meses após a sua abertura
é modelado pela função: v(t) = 2t² - 20t. Thiago quer saber qual será
o menor valor líquido do restaurante e quando atingirá
esse valor. Eu sugiro que você pause o vídeo
e tente resolver isso sozinho. Vamos lá, então. Esta função diz o quanto o valor líquido do restaurante
muda ao longo do tempo. Se pensarmos
no gráfico dela, como "a", que
é o coeficiente que está multiplicando
o termo ao quadrado, é positivo, então, a concavidade
da parábola está para cima. Eu não faço ideia ainda
de como seja esse gráfico, mas tenho certeza que
a concavidade da parábola é assim. E tem um ponto bem aqui,
que chamamos de vértice da parábola. Neste caso, é o valor
mais baixo do valor líquido. E isso acontece
em algum momento "t". Eu posso até colocar
aqui um eixo "t". E aí eu te pergunto: será que existe alguma forma
de reescrever esta função, de modo que fique fácil
determinar este ponto? Ou seja, uma maneira fácil de encontrar
o vértice desta parábola? O que podemos fazer é colocar
esta função na forma de vértice, que já vimos aqui
na Khan Academy. Nessa forma, você consegue
identificar facilmente o vértice. E a maneira de fazer isso é completando
o quadrado nesta função. A primeira coisa que eu
vou fazer aqui é fatorá-la, já que 2 é fator comum
de ambos os termos. Ou seja, vou colocar
o 2 em evidência aqui, que multiplica
(t² - 10t). Eu vou deixar um espaço aqui, porque
vou completar o quadrado desta função que vai nos levar
à forma de vértice, ou seja, eu vou precisar adicionar
e subtrair o mesmo valor a esta função. Como assim? Esta parte aqui parece
um quadrado perfeito, mas está faltando
um segundo quadrado. Mas, se eu adicionar este termo aqui,
vai desequilibrar a minha igualdade. Por isso eu tenho que subtrair ou somar,
dependendo do valor do termo, aqui do lado de fora para
não desequilibrar a igualdade. E claro, se você não lembra
como completar quadrados, eu sugiro que você dê uma olhada
nos vídeos da Khan Academy a respeito
desse assunto. Mas, uma forma fácil,
é olhar para este termo aqui, que é o "b" na equação
do segundo grau. Neste caso é -10. E aí, você divide por 2
e eleva ao quadrado, para saber qual número você
tem que somar ou subtrair para que a expressão se torne
um quadrado perfeito. Metade de -10 é -5,
e -5² é 25. Então, somamos
25 aqui. Agora sim, esta expressão
é um quadrado perfeito. Isto aqui é um produto notável,
que é equivalente a (t - 5)². É sempre assim: para saber qual termo você
tem que somar ou subtrair, você pega este termo aqui,
divide por 2 e eleva ao quadrado. Mas, como eu disse, você não pode
simplesmente adicionar 25 aqui, porque senão você vai
desbalancear a igualdade. Lembre-se que, neste caso,
ainda temos um 2 aqui, o que significa que estamos multiplicando
25 por 2, que vai ser 50. Ou seja, estamos adicionando
50 unidades ao lado direito da igualdade, até porque o 2 está multiplicando
todos os termos dos parênteses. Então, para que a igualdade
continue sendo verdadeira, temos que subtrair
50 aqui também. Basicamente, o que eu fiz foi adicionar
50 e subtrair 50, que vai dar zero. Ou seja, não vai alterar
o resultado da igualdade. Agora sim, vamos ter que
v(t) é igual a: 2 vezes (t - 5)² - 50. Mas por que colocar a função
nesta forma é útil? Desta forma, é mais fácil determinar
qual é o ponto mais baixo da função. Ou seja, o ponto mais baixo dela
acontece quando esta parte aqui é mínima. Note que, aqui, nós temos 2 vezes
alguma coisa elevada ao quadrado. Você vai ter algo mínimo quando
isto aqui for igual a zero. Caso contrário, qualquer
que seja o valor, elevado ao quadrado
vai ser positivo. E (t - 5) vai ser igual a zero
quando "t" for igual a 5. Então, temos que calcular
v(5), que vai ser igual a: 2 vezes (5 - 5)² - 50. Note que tudo isto
vai ser igual a zero. Portanto,
v(5) = -50. Note que "t"
representa meses. Então, atingimos o nosso ponto
mais baixo em 5 meses. Por isso que, ao reescrever
a função na forma de vértice, fica mais fácil de entender
qual é esse ponto mais baixo. Ou seja, em cinco meses,
nós temos o valor líquido mais baixo. E qual é esse valor?
É este -50. E, como a função nos dá
o valor em milhares de reais, isto é mesma coisa
que menos 50 mil reais. Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!