Interprete modelos de segundo grau: forma canônica

RKA2JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, vamos aprender como determinar o vértice de uma função quadrática utilizando a fórmula do vértice. Para isso, temos o seguinte aqui. Thiago abriu um restaurante. O valor líquido do restaurante (em milhares de reais), "t" meses após a sua abertura é modelado pela função: v(t) = 2t² - 20t. Thiago quer saber qual será o menor valor líquido do restaurante e quando atingirá esse valor. Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. Vamos lá, então. Esta função diz o quanto o valor líquido do restaurante muda ao longo do tempo. Se pensarmos no gráfico dela, como "a", que é o coeficiente que está multiplicando o termo ao quadrado, é positivo, então, a concavidade da parábola está para cima. Eu não faço ideia ainda de como seja esse gráfico, mas tenho certeza que a concavidade da parábola é assim. E tem um ponto bem aqui, que chamamos de vértice da parábola. Neste caso, é o valor mais baixo do valor líquido. E isso acontece em algum momento "t". Eu posso até colocar aqui um eixo "t". E aí eu te pergunto: será que existe alguma forma de reescrever esta função, de modo que fique fácil determinar este ponto? Ou seja, uma maneira fácil de encontrar o vértice desta parábola? O que podemos fazer é colocar esta função na forma de vértice, que já vimos aqui na Khan Academy. Nessa forma, você consegue identificar facilmente o vértice. E a maneira de fazer isso é completando o quadrado nesta função. A primeira coisa que eu vou fazer aqui é fatorá-la, já que 2 é fator comum de ambos os termos. Ou seja, vou colocar o 2 em evidência aqui, que multiplica (t² - 10t). Eu vou deixar um espaço aqui, porque vou completar o quadrado desta função que vai nos levar à forma de vértice, ou seja, eu vou precisar adicionar e subtrair o mesmo valor a esta função. Como assim? Esta parte aqui parece um quadrado perfeito, mas está faltando um segundo quadrado. Mas, se eu adicionar este termo aqui, vai desequilibrar a minha igualdade. Por isso eu tenho que subtrair ou somar, dependendo do valor do termo, aqui do lado de fora para não desequilibrar a igualdade. E claro, se você não lembra como completar quadrados, eu sugiro que você dê uma olhada nos vídeos da Khan Academy a respeito desse assunto. Mas, uma forma fácil, é olhar para este termo aqui, que é o "b" na equação do segundo grau. Neste caso é -10. E aí, você divide por 2 e eleva ao quadrado, para saber qual número você tem que somar ou subtrair para que a expressão se torne um quadrado perfeito. Metade de -10 é -5, e -5² é 25. Então, somamos 25 aqui. Agora sim, esta expressão é um quadrado perfeito. Isto aqui é um produto notável, que é equivalente a (t - 5)². É sempre assim: para saber qual termo você tem que somar ou subtrair, você pega este termo aqui, divide por 2 e eleva ao quadrado. Mas, como eu disse, você não pode simplesmente adicionar 25 aqui, porque senão você vai desbalancear a igualdade. Lembre-se que, neste caso, ainda temos um 2 aqui, o que significa que estamos multiplicando 25 por 2, que vai ser 50. Ou seja, estamos adicionando 50 unidades ao lado direito da igualdade, até porque o 2 está multiplicando todos os termos dos parênteses. Então, para que a igualdade continue sendo verdadeira, temos que subtrair 50 aqui também. Basicamente, o que eu fiz foi adicionar 50 e subtrair 50, que vai dar zero. Ou seja, não vai alterar o resultado da igualdade. Agora sim, vamos ter que v(t) é igual a: 2 vezes (t - 5)² - 50. Mas por que colocar a função nesta forma é útil? Desta forma, é mais fácil determinar qual é o ponto mais baixo da função. Ou seja, o ponto mais baixo dela acontece quando esta parte aqui é mínima. Note que, aqui, nós temos 2 vezes alguma coisa elevada ao quadrado. Você vai ter algo mínimo quando isto aqui for igual a zero. Caso contrário, qualquer que seja o valor, elevado ao quadrado vai ser positivo. E (t - 5) vai ser igual a zero quando "t" for igual a 5. Então, temos que calcular v(5), que vai ser igual a: 2 vezes (5 - 5)² - 50. Note que tudo isto vai ser igual a zero. Portanto, v(5) = -50. Note que "t" representa meses. Então, atingimos o nosso ponto mais baixo em 5 meses. Por isso que, ao reescrever a função na forma de vértice, fica mais fácil de entender qual é esse ponto mais baixo. Ou seja, em cinco meses, nós temos o valor líquido mais baixo. E qual é esse valor? É este -50. E, como a função nos dá o valor em milhares de reais, isto é mesma coisa que menos 50 mil reais. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!