Formas e características de funções do segundo grau

RKA - Tem uma função definida como "x² - 5x + 6" e quero pensar em que outras formas a gente pode escrever essa função para encontrar seus zeros. Se quisesse descobrir onde essa função cruza o eixo "x", qual forma de escrita poderia utilizar para descobrir mais facilmente? Tem alguma outra forma de escrever essa função para descobrir qual é o valor mínimo disso? A gente vê que tem um coeficiente positivo no termo "x²" e isso indica que o gráfico será uma parábola; mas qual é o ponto mínimo dela? Ou melhor, qual é o vértice dessa parábola bem aqui? Se a função se parece com algo assim, a gente poderia escrever essa função de outro modo para calcular onde ela cruza o eixo "x". Onde ela cruza o eixo "x"? Talvez a gente possa manipular para calcular qual é o ponto mínimo. O que será esse ponto bem aqui para essa função? Eu mesmo não sei se a função se parece com algo assim. Então, pause o vídeo, e tente manipular dessas duas formas diferentes. Vamos trabalhar. Assim, para encontrar as raízes, o modo mais fácil que posso pensar é tentar fatorar essa expressão quadrática que está sendo usada para definir essa função. A gente poderia pensar, ou seja, vamos pensar em dois números cujo produto seja +6 e cuja soma seja -5. Então, visto que seu produto é positivo, sabemos que eles têm o mesmo sinal; e, se eles têm o mesmo sinal, mas chegamos a um valor negativo, isso significa que os dois devem ser negativos. "(-2)‧(-3)" são +6, "-2 + (-3)" são -5. Dá para reescrever "f(x)". Poderia escrever "f(x)" como sendo igual a "(x - 2)‧(x - 3)". Agora, como isso nos ajuda a encontrar os zeros? Em que situação, essa expressão da direita, à direita, vai ser igual a zero? É o produto dessas duas expressões. Se qualquer um desses for igual a zero, zero vezes qualquer coisa é igual a zero (zero vezes alguma coisa é zero). E isso tudo vai ser zero caso "x - 2" seja igual a zero ou "x - 3" seja igual a zero. Some 2 aos dois lados dessa equação, você obtém que "x = 2" ou "x = 3". Aqueles são os dois zeros para esta função. Eu acho que você diria, e poderia já pensar um pouco em representá-los num gráfico. Vamos tentar colocar em um gráfico. Este é "x = 1", Esse é "x = 2", esse é ''x = 3". Aquele é nosso eixo "x", aquele é nosso "y", que é igual a ''f(x)". Estamos vendo que cruzamos os dois aqui e ali. Quando "x = 2", esse "f(x) = 0". Quando "x = 3", "f(x) = 0", e poderia substituir qualquer um desses valores na expressão original e verá que ele vai te levar a zero, porque essa função é igual àquela. E, com relação ao vértice, em que forma poderia escrever essa função para poder escolher o vértice? Já estamos um pouco familiarizados em completar o quadrado, e, quando completa o quadrado com essa expressão, isso parece ser uma forma bem legal de se pensar sobre qual é o valor mínimo desta função. Então, vamos apenas fazer o gráfico. Aqui tem "f(x)" igual a "x² - 5x..." vou escrever o 6 longe. Estou me dando algum espaço porque o que eu preciso fazer, o que eu quero é somar e subtrair o mesmo valor, então vou somar e subtrair ali. Posso fazer porque, na verdade, só somei zero, não mudei o valor do lado direito. Mas quero fazer de um jeito que essa parte que eu sublinhei em roxo, que essa parte seja um quadrado perfeito. Fizemos diversas vezes quando completamos quadrados. Eu te encorajo a assistir aos vídeos caso precise dar uma revisada. Mas a ideia geral é que seja um quadrado perfeito. Se pegar este coeficiente bem aqui, tem -5. Pegamos metade disso, que é -5/2, e o elevamos ao quadrado. Então, dá para escrever como mais... negativo, qual é o resultado de "(-5/2)²"? Dá para escrever "(-5/2)²". Se a gente elevar ao quadrado um número negativo, ele vai passar a ser positivo. Então, ele será o mesmo que (5/2)². 5² dá 25; 2² dá 4; e vai ser +25/4. Mais uma vez, se quiser que essa igualdade seja verdadeira, nós também temos que acrescentar o mesmo valor aos dois lados. Ou, se estiver trabalhando apenas com um lado, se o adicionamos àquele lado, a gente poderia só subtrair desse outro lado aqui, e não mudamos o valor total naquele lado. Adicionamos 25/4 e subtraímos 25/4. Que parte é essa aqui? O que ela se torna (essa parte que sublinhei em roxo)? Vai ser a razão total pela qual construímos dessa forma. E, aí, isso poderia ser "(x - 5/2)²" Eu te encorajo a fazer a verificação. Vamos olhar mais detalhadamente a razão pela qual pegar metade do coeficiente aqui e elevar ao quadrado, somar e daí subtrair, porque aquilo funciona. A gente fez isso ao completar quadrados; mas esses dois, como pode verificar, são equivalentes; então, esta é aquela parte. Agora, a gente tem só que simplificar "6 - (25/4)". Então, o que é 6 poderia ser escrito como 24/4. "24/4 - 25/4" é -1/4 (simples assim). Reescrevemos nossa função original como "f(x) = (x - 5/2)² - 1/4". Por que essa forma é interessante? Uma forma de pensar é que essa parte sempre vai ser não negativa; o valor mínimo dessa parte em roxo vai ser zero. Por quê? Porque estamos elevando ao quadrado, se você está pegando algo assim, e estamos apenas lidando com números reais... e, você, elevando ao quadrado, não vai poder obter um valor negativo. No valor mínimo, isso vai ser zero, então é óbvio que estes poderiam ser valores positivos também. Se quiser pensar em como pode atingir seu valor mínimo... bom, ele atinge seu valor mínimo quando está elevando zero ao quadrado. Quando está elevando zero ao quadrado? Você está elevando zero ao quadrado quando "x - 5/2" é igual a zero ou quando "x" é igual a 5/2, caso queira apenas somar 5/2 aos dois lados daquela equação. Aqui atinge seu valor mínimo quando "x" for igual a 5/2. Qual é o valor de "y" ou qual é o resultado de "f(x)" quando "x = 5/2"? "f(5/2)". E, mais uma vez, poderia usar qualquer uma daquelas formas para calcular 5/2, mas isso é realmente fácil desse jeito. Quando "x = 5/2", esse termo aqui se torna zero. "0²", zero. Você ficou apenas com -1/4, Você deixou só com -1/4. Outra forma de pensar é o nosso vértice, que está no ponto "x= 5/2" e "y = -1/4". "x" é igual a 5/2, isto é igual a "2½". "x = 5/2" e "y = -1/4". Se aquele é -1, 1/4 seria algo assim. Aquele é o vértice, esse é o ponto. Vou deixar mais claro. É o ponto (5/2, -1/4) E o que é legal é que a gente só usa essa forma para calcular o ponto mínimo (para calcular o vértice, nesse caso). Dá para usar a raiz como dois outros pontos para ter um esboço, um rascunho do que realmente essa parábola vai ser. Acho que o aprendizado desse vídeo está em perceber que a gente pode reescrever uma função de formas diferentes, dependendo do que estamos tentando entender sobre ela. E espero que você tenha entendido. Fui.