Contradomínio de funções de segundo grau

Neste artigo, vamos aprender a encontrar o contradomínio de funções do segundo grau.

Em outras palavras, vamos aprender a determinar o conjunto de todas as saídas possíveis de uma determinada função do segundo grau.

Queremos encontrar o contradomínio da função $f(x)=-2(x+3)^2+7$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, plus, 7.

Encontrar o contradomínio de uma função, olhando apenas sua fórmula, é bastante difícil! Na verdade, não é tão fácil assim dizer se um único valor específico é uma saída possível!

Por exemplo, $y=9$y, equals, 9 é uma saída possível de $f$f?

Para responder a essa pergunta, temos que colocar a fórmula de $f$f em $f(x)=9$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9 e resolver. Se encontrarmos uma solução, $y=9$y, equals, 9 será uma saída possível. Caso contrário, não será.

No entanto, não é possível fazer esta verificação para todas as saídas possíveis, pois elas são infinitas! Este artigo mostrará dois métodos possíveis de solução para resolver este problema.

Na verdade, os gráficos são realmente úteis no estudo do contradomínio de uma função. Felizmente, somos muito habilidosos na representação gráfica de funções do segundo grau.

Este é o gráfico de $y=f(x)$y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.

Agora podemos ver claramente que $y=9$y, equals, 9 não é uma saída possível, pois o gráfico nunca cruza a reta $y=9$y, equals, 9.

Vamos fazer algumas análises semelhantes para outros valores de $y$y.

Então vimos como podemos verificar se um valor dado é uma saída possível por meio de um gráfico. Na verdade, um gráfico nos mostra todo o conjunto de saídas possíveis!

Por exemplo, o gráfico de $y=f(x)$y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis mostra que $7$7 (a coordenada $y$y do vértice) é o valor máximo de $y$y que a função tem como saída. Além disso, como a parábola abre para baixo, todo valor de $y$y abaixo de $7$7 também é uma saída possível.

Em outras palavras, o contradomínio de $f$f é formado por todos os valores de $y$y menores ou iguais a $7$7. É isso! Matematicamente, podemos escrever o contradomínio de $f$f como ${\{} y\in \mathbb{R} ~|~ y\leq 7 {\}}$left brace, y, \in, R, space, vertical bar, space, y, is less than or equal to, 7, right brace.

Considere a função $g(x)=(x-4)^2-5$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared, minus, 5, cujo gráfico pode ser visto abaixo.

Neste ponto, você pode estar se perguntando, "Eu sempre tenho que desenhar o gráfico quando quero encontrar o contradomínio?", e não tiramos sua razão! A preguiça é uma excelente motivação para encontrar maneiras melhores de resolver problemas.

Vamos pensar no trabalho que fizemos acima e buscar um padrão.

Então, tudo o que precisamos saber para determinar o contradomínio de uma função do segundo grau é o valor de $y$y do vértice de seu gráfico, e se sua parábola abre para cima ou para baixo.

É fácil deduzir isso a partir da forma canônica de uma função do segundo grau, $y = \purpleC{a}(x-h)^2 + \blueD{k}$y, equals, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, left parenthesis, x, minus, h, right parenthesis, squared, plus, start color #11accd, k, end color #11accd. Nesta forma, o vértice está em $y=\blueD{k}$y, equals, start color #11accd, k, end color #11accd, e a parábola abre para $\purpleC{\text{cima}}$start color #aa87ff, start text, c, i, m, a, end text, end color #aa87ff quando $\purple{a}>0$start color #9d38bd, a, end color #9d38bd, is greater than, 0 e para $\purpleC{\text{baixo}}$start color #aa87ff, start text, b, a, i, x, o, end text, end color #aa87ff quando $\purpleC{a}<0$start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, is less than, 0.