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Contradomínio de funções de segundo grau

Aprenda a encontrar o contradomínio de qualquer função de segundo grau a partir de sua forma canônica.
Neste artigo, vamos aprender a encontrar o contradomínio de funções do segundo grau.
Em outras palavras, vamos aprender a determinar o conjunto de todas as saídas possíveis de uma determinada função do segundo grau.

Vamos estudar um exemplo de problema

Queremos encontrar o contradomínio da função f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, plus, 7.
Neste artigo, assim como nos acostumamos a nos referir às entradas de uma função com a letra x, vamos nos referir às saídas de uma função com a letra y. Por exemplo, y, equals, 7 é a saída de f para a entrada igual a x, equals, minus, 3 (isso é apenas outra maneira de dizer que f, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 7).
Encontrar o contradomínio de uma função, olhando apenas sua fórmula, é bastante difícil! Na verdade, não é tão fácil assim dizer se um único valor específico é uma saída possível!
Por exemplo, y, equals, 9 é uma saída possível de f?
Para responder a essa pergunta, temos que colocar a fórmula de f em f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9 e resolver. Se encontrarmos uma solução, y, equals, 9 será uma saída possível. Caso contrário, não será.
No entanto, não é possível fazer esta verificação para todas as saídas possíveis, pois elas são infinitas! Este artigo mostrará dois métodos possíveis de solução para resolver este problema.

Método de solução 1: A abordagem gráfica

Na verdade, os gráficos são realmente úteis no estudo do contradomínio de uma função. Felizmente, somos muito habilidosos na representação gráfica de funções do segundo grau.
Este é o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Agora podemos ver claramente que y, equals, 9 não é uma saída possível, pois o gráfico nunca cruza a reta y, equals, 9.
Vamos fazer algumas análises semelhantes para outros valores de y.
Pergunta 1Pergunta 2
y, equals, minus, 5 é uma saída possível de f?
Escolha 1 resposta:

y, equals, minus, 50 é uma saída possível de f?
Escolha 1 resposta:

Então vimos como podemos verificar se um valor dado é uma saída possível por meio de um gráfico. Na verdade, um gráfico nos mostra todo o conjunto de saídas possíveis!
Por exemplo, o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis mostra que 7 (a coordenada y do vértice) é o valor máximo de y que a função tem como saída. Além disso, como a parábola abre para baixo, todo valor de y abaixo de 7 também é uma saída possível.
Em outras palavras, o contradomínio de f é formado por todos os valores de y menores ou iguais a 7. É isso! Matematicamente, podemos escrever o contradomínio de f como left brace, y, \in, R, space, vertical bar, space, y, is less than or equal to, 7, right brace.

Sua vez!

Considere a função g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared, minus, 5, cujo gráfico pode ser visto abaixo.
Qual é o contradomínio de g?
Escolha 1 resposta:

Método de solução 2: A abordagem algébrica

Neste ponto, você pode estar se perguntando, "Eu sempre tenho que desenhar o gráfico quando quero encontrar o contradomínio?", e não tiramos sua razão! A preguiça é uma excelente motivação para encontrar maneiras melhores de resolver problemas.
Vamos pensar no trabalho que fizemos acima e buscar um padrão.
Nossa primeira função, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, plus, 7, tinha uma parábola que abria para start color #aa87ff, start text, b, a, i, x, o, end text, end color #aa87ff e cujo vértice estava em y, equals, start color #11accd, 7, end color #11accd. Consequentemente, seu contradomínio era formado por todos os valores de y start color #aa87ff, start text, m, e, n, o, r, e, s, end text, end color #aa87ff ou iguais a start color #11accd, 7, end color #11accd.
Nossa segunda função, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared, minus, 5, tinha uma parábola que abria para start color #aa87ff, start text, c, i, m, a, end text, end color #aa87ff e cujo vértice estava em y, equals, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd. Consequentemente, seu contradomínio era formado por todos os valores de y start color #aa87ff, start text, m, a, i, o, r, e, s, end text, end color #aa87ff ou iguais a start color #11accd, minus, 5, end color #11accd.
Então, tudo o que precisamos saber para determinar o contradomínio de uma função do segundo grau é o valor de y do vértice de seu gráfico, e se sua parábola abre para cima ou para baixo.
É fácil deduzir isso a partir da forma canônica de uma função do segundo grau, y, equals, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, left parenthesis, x, minus, h, right parenthesis, squared, plus, start color #11accd, k, end color #11accd. Nesta forma, o vértice está em y, equals, start color #11accd, k, end color #11accd, e a parábola abre para start color #aa87ff, start text, c, i, m, a, end text, end color #aa87ff quando start color #9d38bd, a, end color #9d38bd, is greater than, 0 e para start color #aa87ff, start text, b, a, i, x, o, end text, end color #aa87ff quando start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, is less than, 0.

Sua vez

Use o que você aprendeu para encontrar o contradomínio de h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, squared, plus, 2.
left brace, y, \in, R, vertical bar
right brace

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