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Matemática EM: Álgebra 1
Curso: Matemática EM: Álgebra 1 > Unidade 7
Lição 5: Conjunto domínio e conjunto imagem de uma função quadráticaContradomínio de funções de segundo grau
Aprenda a encontrar o contradomínio de qualquer função de segundo grau a partir de sua forma canônica.
Neste artigo, vamos aprender a encontrar o contradomínio de funções do segundo grau.
Em outras palavras, vamos aprender a determinar o conjunto de todas as saídas possíveis de uma determinada função do segundo grau.
Vamos estudar um exemplo de problema
Queremos encontrar o contradomínio da função f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, plus, 7.
Neste artigo, assim como nos acostumamos a nos referir às entradas de uma função com a letra x, vamos nos referir às saídas de uma função com a letra y. Por exemplo, y, equals, 7 é a saída de f para a entrada igual a x, equals, minus, 3 (isso é apenas outra maneira de dizer que f, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 7).
Encontrar o contradomínio de uma função, olhando apenas sua fórmula, é bastante difícil! Na verdade, não é tão fácil assim dizer se um único valor específico é uma saída possível!
Por exemplo, y, equals, 9 é uma saída possível de f?
Para responder a essa pergunta, temos que colocar a fórmula de f em f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9 e resolver. Se encontrarmos uma solução, y, equals, 9 será uma saída possível. Caso contrário, não será.
No entanto, não é possível fazer esta verificação para todas as saídas possíveis, pois elas são infinitas! Este artigo mostrará dois métodos possíveis de solução para resolver este problema.
Método de solução 1: A abordagem gráfica
Na verdade, os gráficos são realmente úteis no estudo do contradomínio de uma função. Felizmente, somos muito habilidosos na representação gráfica de funções do segundo grau.
Este é o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Agora podemos ver claramente que y, equals, 9 não é uma saída possível, pois o gráfico nunca cruza a reta y, equals, 9.
Vamos fazer algumas análises semelhantes para outros valores de y.
Pergunta 1 | Pergunta 2 |
---|---|
Então vimos como podemos verificar se um valor dado é uma saída possível por meio de um gráfico. Na verdade, um gráfico nos mostra todo o conjunto de saídas possíveis!
Por exemplo, o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis mostra que 7 (a coordenada y do vértice) é o valor máximo de y que a função tem como saída. Além disso, como a parábola abre para baixo, todo valor de y abaixo de 7 também é uma saída possível.
Em outras palavras, o contradomínio de f é formado por todos os valores de y menores ou iguais a 7. É isso! Matematicamente, podemos escrever o contradomínio de f como left brace, y, \in, R, space, vertical bar, space, y, is less than or equal to, 7, right brace.
Sua vez!
Considere a função g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared, minus, 5, cujo gráfico pode ser visto abaixo.
Método de solução 2: A abordagem algébrica
Neste ponto, você pode estar se perguntando, "Eu sempre tenho que desenhar o gráfico quando quero encontrar o contradomínio?", e não tiramos sua razão! A preguiça é uma excelente motivação para encontrar maneiras melhores de resolver problemas.
Vamos pensar no trabalho que fizemos acima e buscar um padrão.
Então, tudo o que precisamos saber para determinar o contradomínio de uma função do segundo grau é o valor de y do vértice de seu gráfico, e se sua parábola abre para cima ou para baixo.
É fácil deduzir isso a partir da forma canônica de uma função do segundo grau, y, equals, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, left parenthesis, x, minus, h, right parenthesis, squared, plus, start color #11accd, k, end color #11accd. Nesta forma, o vértice está em y, equals, start color #11accd, k, end color #11accd, e a parábola abre para start color #aa87ff, start text, c, i, m, a, end text, end color #aa87ff quando start color #9d38bd, a, end color #9d38bd, is greater than, 0 e para start color #aa87ff, start text, b, a, i, x, o, end text, end color #aa87ff quando start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, is less than, 0.
Sua vez
Quer participar da conversa?
- Eu não entendi o metodo da abordagem algebrica.Poderiam me explicar ?(2 votos)
- Como encontrar um vértice de uma função?(1 voto)
- Depende bastante da forma que a equação do segundo grau estiver, recomendo a você acessar esse link:
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/graphing-quadratic-functions/v/graphing-a-quadratic-function
Vendo os vídeos e fazendo os exercícios você conseguirá fazer os exercícios daqui.
Abraço(2 votos)
- como que faz pra se matar ?(0 votos)