Gráfico de funções do segundo grau na forma fatorada

RKA4JL - Esboce o gráfico de f(x) igual a ½ de (x -6) vezes (x mais 2). O estudante pode ficar tentado a fazer essa multiplicação (aqui nós temos uma equação do segundo grau, ou melhor, uma função do segundo grau), podemos atribuir valores a x, descobrir qual é o valor da função e sair plotando no gráfico. Existe uma maneira mais fácil. Nós vimos em vídeos anteriores. Podemos descobrir os zeros da função e também o vértice da função. Como é que nós descobrimos os zeros da função? Como aqui é uma multiplicação, basta que este termo seja igual a zero ou este termo seja igual a zero. ½ não vai ser igual a zero. ½ é ½. Portanto, na hora em que descobrirmos o zero da função, vamos saber qual ponto em que a função intercepta o eixo da abcissa, que é o x, ou seja, as raízes da função. Então vamos fazer x menos seis igual a zero ou x mais 2 igual a zero. x menos 6 igual a zero, somando 6 de ambos os lados, nós vamos ter x igual a 6, ou x, subtraindo 2 de ambos os lados, nós vamos ter x igual a -2, ou seja, colocando x igual a -2 esse termo é zero, portanto toda a função fica zero. Colocando x igual a 6, esse termo é zero. Portanto, toda a função é igual a zero. Então a função vai passar pelo ponto -2 e vai passar pelo ponto 6. Agora a parábola é simétrica ao eixo que passa pelo vértice, e como é que nós vamos saber que ponto é esse onde passa o eixo simétrico? Como ele é simétrico às raízes, basta que nós saibamos que ponto... Primeiro sabemos que o ponto que nós queremos saber vai estar no eixo x, portanto y vai ser igual a zero. Mas esse ponto aqui vai ser uma média aritmética entre -2 e 6, portanto podemos somar -2 mais 6 e dividir por 2. -2 mais 6 é 4, dividido por 2 é 2, ou seja, ele vai passar nesse ponto 2. Então nosso eixo de simetria passa pelo ponto 2. Agora, como é que vamos determinar qual é o ponto y que corresponde ao eixo de simetria? Nós podemos substituir o valor de x igual a 2. Substituindo o valor de x igual a 2, vamos achar o valor da função onde x é igual a 2 e vai coincidir com o nosso vértice. Portanto fazendo f(2), nós temos ½ de (2 menos 6) vezes (2 mais 2) 2 menos 6, -4 2 mais 2, 4. -4 vezes 4, -16. Então temos f(2) igual a ½ de -16, que vai ser igual a -8. Portanto ele vai passar por esse ponto -8. Agora já podemos ter uma ideia do nosso gráfico. Se quisermos saber por que ponto ele passa no eixo y, basta fazer x igual a zero, ou seja, para x igual a zero, f(0) é igual a ½ de (zero menos 6) vezes (zero mais 2). -6 vezes 2 dá -12, dividido por 2 dá -6. Ou seja, ele vai passar por esse ponto também quando x for igual a zero. Então podemos ter uma ideia bastante clara de como é um esboço da nossa função do segundo grau, ou seja, onde 6 e -2 são as raízes, o eixo de simetria fica exatamente no meio, que vai dar 2. Para achar o ponto do vértice, ou seja, o ponto de mínimo da função, substituímos na equação e achamos -8. E se quisermos saber algo mais, podemos saber, quando x for zero, qual é o local que o gráfico passa pelo eixo y, que no caso vai ser -6.