Como encontrar o vértice de uma parábola em forma padrão

RKA - Tenho uma equação e ela é uma equação de segundo grau (ela é quadrática). Sei que seu gráfico será uma parábola e, a título de revisão, significa que ela será parecida com isto ou terá esta forma. Como o coeficiente do termo "x²" é positivo e sei que ela será uma parábola com a concavidade voltada para cima, estou curioso sobre o vértice desta parábola. Se tenho uma parábola com a concavidade voltada para cima, o vértice será o ponto mínimo. Se eu tivesse uma parábola com a concavidade voltada para baixo, o vértice seria o ponto máximo. O que estou tentando é descobrir o valor de "x", Não sei, na verdade, onde intercepta o eixo "x", ou se ele sequer intercepta, mas quero descobrir o valor de "x" onde a função assume um valor mínimo. Tem muitas maneiras para descobrir um vértice. Provavelmente, a mais fácil: tem uma fórmula para ela. A gente já falou de onde ela veio em vários vídeos, que o vértice de uma parábola ou a coordenadora "x" do vértice da parábola, ou seja, a coordenadora "x" do vértice é igual a "-b/2a". E, no "-b"... estamos só falando sobre o coeficiente que é "b"... é o coeficiente do termo em primeiro grau, é o coeficiente do termo "x". E "a" é o coeficiente do termo "x²". Vai ser igual a... "b" é "-20"... é "-20" sobre... 2 vezes 5... vai ser igual a +20/10 o que é igual a 2. Assim, para descobrir o valor "y" do vértice, apenas substituí esse valor na equação. O valor de "y" será "5‧(2²) - 20‧(2) + 15" que é igual a... isso é "(5)‧(4)", que é 20... menos 40 dá -20... mais 15, -5. A gente só precisa fazer isso para descobrir a coordenada. Essa coordenada é o ponto (2, -5). Agora, não é muito satisfatório usar uma fórmula tão mecânica como essa, e a gente vai entender por que quando encontrar a fórmula da equação quadrática. Este é o primeiro termo, ele é o valor de "x" que está no meio das raízes. Essa é uma forma de pensar sobre isso, Mas outra forma de fazer (e ela provavelmente vai ser muito mais útil, porque você pode esquecer a fórmula)... na verdade, ela é apenas uma tentativa de remanipular esta equação de forma a descobrir o ponto mínimo. E vamos fazer completando o quadrado. Deixa eu reescrever. "y" é igual a... e o que eu vou fazer com esses dois primeiros termos é fatorar um 5, porque eu quero completar um quadrado; e eu vou deixar esse 15 à direita porque tenho que manipular isso também... é "5‧x² - 4‧x''... depois, tenho esse 15 aqui. Quero escrever como um quadrado perfeito. Para isso, só tem que lembrar que, se tenho "(x + a)²", vai ser "x² + 2ax + a²". Se quero transformar algo desse tipo, "2ax", em um quadrado perfeito, tenho apenas que pegar metade deste coeficiente e elevar ao quadrado, e somar este valor para que se pareça com isso aqui em cima. Vamos lá. Se eu calcular metade de -4, vai ser -2. Se eu elevar ao quadrado, vai ser +4. Tenho que tomar cuidado aqui. Não posso simplesmente adicionar "1 + 4" aqui; tem uma igualdade. Se eles eram iguais antes de adicionar o 4, então não serão iguais depois que adicionar o 4, preciso fazer a operação correta. Ou somo 4 aos dois lados ou... preciso tomar cuidado... preciso somar o mesmo valor aos dois lados, e subtrair o mesmo valor de novo. Agora, o motivo pelo qual eu tomei cuidado é porque não adicionei simplesmente um 4 ao lado direito da equação. Lembrem-se: o 4 está sendo multiplicado por 5; adicionei 20 ao lado direito da equação. Se eu quiser equilibrar, se quiser que a igualdade ainda seja verdadeira, preciso agora adicionar 20 ao "y", ou subtrair 20 do lado direito. Vou subtrair 20 do lado direito. Somei "(5)‧(4)"; se distribuírem, vão ver isso. Poderia, literalmente, ter dito que estou adicionando 20 e estou subtraindo 20, porque é exatamente a mesma coisa que eu fiz aqui. Se distribuírem o 5, terão "5x² - 20x + 20 + 15 - 20"; exatamente o mesmo que aqui em cima. A questão geral é que, agora, posso escrever de uma maneira interessante. Poderia escrever como "y = 5‧(x - 2)²"... e, depois, "15 - 20" é -5. A questão é que, agora, a gente pode analisar. Quando esta equação atinge um valor mínimo? Sabemos que esse termo sempre será positivo, ou poderíamos dizer que ele sempre será maior do que ou igual a zero. Toda esta coisa irá atingir um valor mínimo quando esse termo for igual a zero ou quando "x" for igual a 2. Quando "x" for igual a 2, a gente vai chegar ao valor mínimo. E o que acontece quando "x = 2"? Todo esse termo será zero e "y" será igual a "-5". O vértice é (2, -5).