Gráfico de uma função quadrática via transformações

Com este artigo, vamos descobrir como obter o gráfico de uma função quadrática aplicando transformações geométricas sobre a função $f(x) = x²$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ².

Vamos começar analisando quais semelhanças e quais diferenças existem entre os gráficos das funções $f(x) = x², \space g(x) = x² + 1$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ², comma, space, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ², plus, 1 e $\space h(x) = x² - 2.$space, h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ², minus, 2, point

Repare que os pontos da parábola que representa a função $f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis foram transladados $1$1 unidade verticalmente para cima para obter o gráfico da parábola que representa a função $g(x)$g, left parenthesis, x, right parenthesis, enquanto se transladássemos os pontos da parábola que representa a função $f(x)\space 2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, space, 2 unidades verticalmente para baixo, obteríamos o gráfico da função que representa a função $h(x)$h, left parenthesis, x, right parenthesis.

Agora, vamos pensar em como a alteração do coeficiente $a$a da função $f(x) = a.x²$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, point, x, ² pode modificar a abertura da concavidade da parábola. Quando se aumenta o valor do módulo do coeficiente $a$a, a abertura da concavidade da parábola diminui (se fecha); enquanto que diminuindo o valor do módulo do coeficiente, a abertura da concavidade da parábola aumenta (se abre).

A imagem a seguir mostra a comparação entre os gráficos que representam as funções $f(x) = x², \space g(x) = 2x²$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ², comma, space, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, ² e $\space h(x) = \dfrac{1}{2}x².$space, h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, ², point

Por último, vamos analisar o que ocorre com o gráfico da função $f(x) = a.x²$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, point, x, ² quando o valor do coeficiente $a$a é negativo.

A imagem a seguir mostra o gráfico das funções $f(x) = x²$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ² e $g(x) = -x²$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, ²:

Repare que os pontos do gráfico da função $f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis foram refletidos em relação ao eixo das abscissas, dando origem ao gráfico da função $g(x)$g, left parenthesis, x, right parenthesis.

Finalmente, vamos pensar nessas transformações todas juntas para chegar ao gráfico da função $g(x) = -2x² + 3$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, ², plus, 3.

Nesse caso, as transformações podem ser:

1) diminuir a abertura da concavidade da função $f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis;

2) refletir os pontos em relação ao eixo das abscissas;

3) transladar todos os pontos $3$3 unidades verticalmente para cima.

Resumindo,

$\bullet f(x)= x² + c$bullet, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ², plus, c move a função na vertical transladando-a para cima se $c>0$c, is greater than, 0 ou para baixo se $c<0$c, is less than, 0;

$\bullet f(x)= ax²$bullet, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, ² diminui a abertura da concavidade se aumentamos o módulo do valor de $a$a ou aumenta se diminuímos o módulo do valor de $a$a;

$\bullet f(x)= -x²$bullet, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, ² inverte a concavidade da função.

Com essas dicas, pode-se obter o gráfico de qualquer função do $2º$2, º grau do tipo $g(x)=ax²+c$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, ², plus, c fazendo transformações no gráfico da função $f(x)=x²$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ².