Gráfico de uma função quadrática via transformações

Com este artigo, vamos descobrir como obter o gráfico de uma função quadrática aplicando transformações geométricas sobre a função $f(x)=x²$‍.

Vamos começar analisando quais semelhanças e quais diferenças existem entre os gráficos das funções $f(x)=x²,g(x)=x²+1$‍ e $h(x)=x²-2.$‍

Repare que os pontos da parábola que representa a função $f(x)$‍ foram transladados $1$‍ unidade verticalmente para cima para obter o gráfico da parábola que representa a função $g(x)$‍, enquanto se transladássemos os pontos da parábola que representa a função $f(x)2$‍ unidades verticalmente para baixo, obteríamos o gráfico da função que representa a função $h(x)$‍.

Agora, vamos pensar em como a alteração do coeficiente $a$‍ da função $f(x)=a.x²$‍ pode modificar a abertura da concavidade da parábola. Quando se aumenta o valor do módulo do coeficiente $a$‍, a abertura da concavidade da parábola diminui (se fecha); enquanto que diminuindo o valor do módulo do coeficiente, a abertura da concavidade da parábola aumenta (se abre).

A imagem a seguir mostra a comparação entre os gráficos que representam as funções $f(x)=x²,g(x)=2x²$‍ e $h(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}x².$‍

Por último, vamos analisar o que ocorre com o gráfico da função $f(x)=a.x²$‍ quando o valor do coeficiente $a$‍ é negativo.

A imagem a seguir mostra o gráfico das funções $f(x)=x²$‍ e $g(x)=-x²$‍:

Repare que os pontos do gráfico da função $f(x)$‍ foram refletidos em relação ao eixo das abscissas, dando origem ao gráfico da função $g(x)$‍.

Finalmente, vamos pensar nessas transformações todas juntas para chegar ao gráfico da função $g(x)=-2x²+3$‍.

Nesse caso, as transformações podem ser:

1) diminuir a abertura da concavidade da função $f(x)$‍;

2) refletir os pontos em relação ao eixo das abscissas;

3) transladar todos os pontos $3$‍ unidades verticalmente para cima.

Resumindo,

$\bullet f(x)=x²+c$‍ move a função na vertical transladando-a para cima se $c>0$‍ ou para baixo se $c<0$‍;

$\bullet f(x)=ax²$‍ diminui a abertura da concavidade se aumentamos o módulo do valor de $a$‍ ou aumenta se diminuímos o módulo do valor de $a$‍;

$\bullet f(x)=-x²$‍ inverte a concavidade da função.

Com essas dicas, pode-se obter o gráfico de qualquer função do $2º$‍ grau do tipo $g(x)=ax²+c$‍ fazendo transformações no gráfico da função $f(x)=x²$‍.