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Gráfico de uma função quadrática via transformações

O foco desse artigo é sistematizar como obter o gráfico de uma função quadrática aplicando transformações geométricas sobre a função f(x) = x2.
Com este artigo, vamos descobrir como obter o gráfico de uma função quadrática aplicando transformações geométricas sobre a função f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ².
Vamos começar analisando quais semelhanças e quais diferenças existem entre os gráficos das funções f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ², comma, space, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ², plus, 1 e space, h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ², minus, 2, point
Gráfico 1: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ², comma, space, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ², plus, 1, comma, space, h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ², minus, 2.
Repare que os pontos da parábola que representa a função f, left parenthesis, x, right parenthesis foram transladados 1 unidade verticalmente para cima para obter o gráfico da parábola que representa a função g, left parenthesis, x, right parenthesis, enquanto se transladássemos os pontos da parábola que representa a função f, left parenthesis, x, right parenthesis, space, 2 unidades verticalmente para baixo, obteríamos o gráfico da função que representa a função h, left parenthesis, x, right parenthesis.
Agora, vamos pensar em como a alteração do coeficiente a da função f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, point, x, ² pode modificar a abertura da concavidade da parábola. Quando se aumenta o valor do módulo do coeficiente a, a abertura da concavidade da parábola diminui (se fecha); enquanto que diminuindo o valor do módulo do coeficiente, a abertura da concavidade da parábola aumenta (se abre).
A imagem a seguir mostra a comparação entre os gráficos que representam as funções f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ², comma, space, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, ² e space, h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, ², point
Gráfico 2: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ², ;, space, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, ², ;, space, h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, ².
Por último, vamos analisar o que ocorre com o gráfico da função f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, point, x, ² quando o valor do coeficiente a é negativo.
A imagem a seguir mostra o gráfico das funções f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ² e g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, ²:
Gráfico 3: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ² e g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, ².
Repare que os pontos do gráfico da função f, left parenthesis, x, right parenthesis foram refletidos em relação ao eixo das abscissas, dando origem ao gráfico da função g, left parenthesis, x, right parenthesis.
Finalmente, vamos pensar nessas transformações todas juntas para chegar ao gráfico da função g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, ², plus, 3.
Nesse caso, as transformações podem ser:
1) diminuir a abertura da concavidade da função f, left parenthesis, x, right parenthesis;
Gráfico 4: g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, ².
2) refletir os pontos em relação ao eixo das abscissas;
Gráfico 5: g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, ².
3) transladar todos os pontos 3 unidades verticalmente para cima.
Gráfico 6: g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, ², plus, 3.
Resumindo,
bullet, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ², plus, c move a função na vertical transladando-a para cima se c, is greater than, 0 ou para baixo se c, is less than, 0;
bullet, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, ² diminui a abertura da concavidade se aumentamos o módulo do valor de a ou aumenta se diminuímos o módulo do valor de a;
bullet, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, ² inverte a concavidade da função.
Com essas dicas, pode-se obter o gráfico de qualquer função do 2, º grau do tipo g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, ², plus, c fazendo transformações no gráfico da função f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, ².

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