Função Quadrática

Uma função pode ser vista como uma regra que estabelece uma relação entre dois conjuntos. Em outras palavras, função é uma maneira de associar a cada valor $\text{x}$start text, x, end text um único valor $\text{f(x)}$start text, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end text. Isso pode ser feito de várias maneiras diferentes: por meio de equação, gráfico, diagramas representando os dois conjuntos, regra de associação e tabela de correspondência.

Um tipo de função que é amplamente trabalhado é a função quadrática, ou função do segundo grau, uma função real que pode ser escrita na forma $\text{f(x)}=\text{a}x^{2}+\text{b}x+\text{c}$start text, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end text, equals, start text, a, end text, x, squared, plus, start text, b, end text, x, plus, start text, c, end text com $\text{a, b, c} \in R$start text, a, comma, space, b, comma, space, c, end text, \in, R onde $\text{a} ≠ 0$start text, a, end text, does not equal, 0.

As funções quadráticas ou funções do segundo grau são funções de origens remotas, pois surgem do conceito das equações quadráticas. O termo "quadrático" se refere a um dos modos como ela era resolvida geometricamente pelos antigos matemáticos. Elas eram representadas como partes de um quadrado que, quando completo, determinava suas soluções por meio da medida dos segmentos de reta usados.

Com o objetivo de explorar esse tipo de função, será analisada a relação existente entre a variação do perímetro de um quadrado e sua área. Para iniciar, observe a tabela, que conta com alguns casos:

Essa relação pode ser extrapolada ao ser representada no plano cartesiano com os pontos que associam o perímetro $\text{x}$start text, x, end text e a área $\text{y}$start text, y, end text dos quadrados investigados.

Ao plotar os pontos, é possível notar que eles sugerem o desenho de uma parábola, que é justamente o traço da função de segundo grau. Isso se deve a como a regra dessa relação foi criada. No intuito de relacionar o perímetro e a área do quadrado, tem-se que, ao elevar o perímetro ao quadrado e dividir o resultado por $16$16, obtém-se a área do quadrado, ou seja, $\text{y}=\frac{x^{2}}{16}$start text, y, end text, equals, start fraction, x, squared, divided by, 16, end fraction.

Resgatando o que foi dito sobre a lei de formação das funções quadráticas serem da forma $\text{f(x)}=\text{a}x^{2}+\text{b}x+\text{c}$start text, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end text, equals, start text, a, end text, x, squared, plus, start text, b, end text, x, plus, start text, c, end text, com $\text{a, b, c} \in R$start text, a, comma, space, b, comma, space, c, end text, \in, R onde $\text{a} ≠ 0$start text, a, end text, does not equal, 0, no exemplo abordado, temos que $\text{a}=\frac{1}{16}$start text, a, end text, equals, start fraction, 1, divided by, 16, end fraction, $\text{b}=0$start text, b, end text, equals, 0 e $\text{c}=0$start text, c, end text, equals, 0.

As equações do segundo grau aparecem em alguns contextos de situações do cotidiano. Considere que uma empresa obtém um lucro na venda de $\text{x}$start text, x, end text skates que pode ser relacionado pela lei $\text{L(x)}=-\text{x}^{2}+600\text{x}-50\space000$start text, L, left parenthesis, x, right parenthesis, end text, equals, minus, start text, x, end text, squared, plus, 600, start text, x, end text, minus, 50, space, 000. A tabela a seguir mostra o lucro registrado durante $5$5 meses seguidos.

Ao analisar a tabela, note que nem sempre o lucro é maior conforme maior é o número de vendas de skates. Perceba que, quando o número de skates vendidos foi igual a $550$550, a empresa registrou prejuízo de $22\space500$22, space, 500 reais. O mesmo valor foi obtido quando $\text{x= 50}$start text, x, =, space, 50, end text. Essa igualdade não é mera coincidência e se deve ao fato de a função quadrática possuir um eixo de simetria, isto é, uma reta em que pontos $\text{x}$start text, x, end text equidistantes a ela possuem o mesmo valor quando aplicados na função $\text{f}$start text, f, end text.

Funções quadráticas são ótimas aliadas na modelagem de problemas do dia a dia, como no movimento de lançamentos de balas e foguetes, para presumir o ângulo de reflexão de faróis de carros e conjecturar o ângulo da antena parabólica.