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Matemática EM: Álgebra 1
Curso: Matemática EM: Álgebra 1 > Unidade 7
Lição 1: Função quadráticaFunção Quadrática
Nesse vídeo iremos explorar a questão da variação quadrática apresentada pela função quadrática através de uma situação problema. Neste sentido, um contexto interessante a ser explorado envolveria a determinação do preço que um produto possa ser vendido para que se obtenha o maior lucro possível com sua venda.
Versão original criada por Khan Academy.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá!
Tudo bem com você? Você vai assistir agora
a mais uma aula de matemática. Nesta aula vamos conversar
sobre a função quadrática. Mas antes de dar muito spoiler
sobre esse tipo de função, vamos observar a seguinte
situação-problema aqui. "O dono de uma loja de materiais esportivos
deseja saber qual é o máximo valor possível que pode vender um skate
para ter o maior lucro possível. O fornecedor informou que
o custo do skate é de 100 reais. Em seguida, o proprietário da loja
efetuou uma pesquisa de mercado que concluiu que o número
de interessados para comprar um skate é dado por (500 menos x),
sendo x o preço de venda. Isso significa que se os skates
fossem doados gratuitamente, ou seja, onde x é igual a zero, haveria
500 pessoas interessadas neles. Note que ao aumentar
o valor do skate, o número de pessoas interessadas
em comprá-los diminui. De acordo com
tais informações, determine uma maneira de obter o lucro
da loja com a venda de x skates." Como podemos observar, estamos
diante de uma função. Não se esqueça que uma função é uma espécie
de relação entre duas ou mais variáveis, na qual quando uma variável,
chamada independente, se altera, a outra variável,
chamada dependente, vai se alterar em função da mudança
da variável independente. Sabendo disso, nós podemos
modelar a situação para encontrar a lei de formação
da função que representa essa situação. Se x é o preço de venda do skate
e 100 reais é o preço de custo do skate, o lucro obtido na venda
de cada skate é dado por f(x) sendo igual a
(x menos 100). Agora, de acordo com a pesquisa realizada
e apresentada no enunciado do problema, o número de skates
que podem ser vendidos é modelado por uma outra função,
que vamos chamar aqui de g(x), onde g(x) é igual a
(500 menos x). Como temos uma função
que expressa o lucro do skate e uma função que expressa o número
de skates que podem ser vendidos, temos que o lucro com
a venda dos skates vendidos é expresso pelo produto
entre essas duas funções, ou seja, temos que h(x), que representa
o lucro obtido com a venda dos skates, é igual a
f(x) vezes g(x). Como já temos f(x) e g(x),
isso aqui vai ser igual a (x menos 100)
vezes (500 menos x). Aplicando a propriedade distributiva,
temos que isso aqui é igual a 500x menos x²
menos 50.000 mais 100x. Isso aqui é igual a -x² mais... 500x mais 6x é igual a 600x,
então temos 600x aqui, menos 50.000, ou seja, h(x) é igual a
-x² mais 600x menos 50.000. Visto tudo isso, eu quero
fazer uma pergunta: que tipo de função
nós encontramos aqui? Pause o vídeo e pense
um pouco sobre isso. Ah, mas antes disso é importante falar
que esse x ao quadrado aqui tem uma importância muito grande
nesse tipo de função. Então, sabendo disso pause o vídeo
e pense um pouquinho. Pensou? Como eu disse, esse x² aqui tem uma
importância muito grande nesse tipo de função. Ele indica para a gente que
temos aqui uma função quadrática, também chamada de função do segundo grau
ou função polinomial do segundo grau. Mas, enfim, vamos continuar
pensando em nosso problema aqui. Agora que temos a nossa função,
que tal a gente elaborar uma tabela com alguns valores diferentes
de skates vendidos, e, através dessa função,
saber se teremos lucro, prejuízo ou se ficaremos no zero a zero, ou seja,
se não teremos nem lucro e nem prejuízo? Bem, vamos
fazer isso aqui. Nessa tabela eu vou
colocar três colunas. Na primeira eu vou colocar
o número de skates vendidos, que representamos
com a letra x. Na segunda eu vou colocar
nossa função h(x), em que h(x) é igual a -x²
mais 600x menos 50.000 e na terceira eu vou colocar
a situação que teremos. Vamos terminar de
montar a tabela aqui. Eu vou colocar cinco valores para x,
então vamos precisar de cinco linhas. Vamos colocar aqui na primeira coluna
os números de skates vendidos. Vou colocar aqui 50, 100,
300, 500 e 550. Agora vamos substituir
cada um desses valores na função que está na segunda coluna
e obter um resultado. Que tal você pausar o vídeo
e tentar fazer isso? Fez? Vamos fazer isso
juntos, agora? Na primeira linha temos h(50) e isso sendo igual a
-50² mais 600 vezes 50 menos 50.000. Eu vou fazer esse primeiro
aqui na calculadora, mas os demais eu vou apenas
colocar o resultado, ok? Vamos lá. Pegando a calculadora
aqui temos -(50²)... (Lembrando que o sinal de menos
não está sendo elevado ao quadrado) mais 600 vezes 50
menos 50.000. Isso aqui
é igual a -22.500. Então vou colocar
aqui -22.500. Como o resultado
do lucro deu negativo, isso significa que estamos tendo um prejuízo
com esse número de skates vendidos. Agora vamos para
a segunda linha. Teremos aqui h(100) sendo igual a -100²
mais 600 vezes 100 menos 50.000. Realizando o cálculo, temos
que isso é igual a zero, ou seja, não estamos tendo
nem lucro nem prejuízo. Estamos no zero a zero. Agora na terceira linha temos h(300) sendo igual a
-300² mais 600 vezes 300 menos 50.000. Calculando,
isso aqui é igual a 40.000. Como o resultado
obtido foi positivo, estamos tendo lucro com a venda
desse número de skates. Na quarta linha
temos h(500), e isso é igual a -500² mais 600
vezes 500 menos 50.000. Realizando o cálculo novamente
temos um valor igual a zero, ou seja, não temos nem lucro e nem prejuízo
com esse número de skates vendidos. Por último,
na quinta linha temos h(550). Isso é igual a -550² mais 600
vezes 550 menos 50.000. Realizando o cálculo temos novamente
isso aqui sendo igual a -22.500, ou seja, com esse número de skates
vendidos temos prejuízo. Viu como essa função é muito útil
para situações como essas? Mas o mais legal
sobre as funções é que podemos representá-las
em um gráfico no plano cartesiano. Por exemplo, nesse caso específico
eu vou colocar aqui o plano cartesiano onde no eixo horizontal temos
o número de skates vendidos, que representamos
com a letra x, e no eixo vertical temos o nosso lucro,
que representamos com a função h(x). Vou colocar aqui alguns
valores no eixo horizontal, tais como zero, 100,
200, 300, 400, 500 e 600 e aqui no eixo vertical vou colocar valores
negativos e positivos, começando aqui no zero. Aí no sentido positivo
eu vou colocar 10.000, 20.000, 30.000,
40.000 e 50.000. Já no sentido negativo
eu vou colocar aqui -10.000, -20.000,
-30.000, -40.000 e -50.000. Feito isso, o que podemos fazer agora
é relacionar os pares ordenados, ou seja, relacionar x com
h(x) para cada valor de x e assim encontrar
um ponto específico. Inicialmente com x igual a 50
temos que h(50) igual a -22.500. Então temos um ponto aqui.
Mais ou menos aqui, na verdade. Agora, com x igual a 100
temos que h(100) é igual a zero, então temos
um ponto aqui. Com x igual a 300 temos
que h(300) é igual a 40.000, ou seja,
o nosso ponto está aqui. Com x sendo igual a 500, temos
que h(500) também é zero. Sendo assim, o nosso
ponto está aqui. Por último, com x sendo igual a 550
temos que h(550) igual a -22.500. Então nosso ponto também
está mais ou menos aqui. Se a gente colocasse diversos outros
pontos atribuindo vários valores para x e encontrando a h(x),
teríamos isso aqui. Repare que unindo todos
os pontos possíveis para essa função encontramos
uma figura geométrica. Essa figura encontrada
é chamada de parábola. Ao percorrer essa parábola
conseguimos ver facilmente onde temos prejuízo,
onde temos lucro e onde não temos nem lucro
e nem prejuízo. E um detalhe: também conseguimos
encontrar qual é o valor de x para obter o
máximo lucro possível. Repare que em x igual a 100
e em x igual a 500 não temos lucro
e nem prejuízo. Para valores de x que estão
nesse intervalo aqui, ou seja, para valores de x maiores que 100
e menores que 500, teremos lucro. Agora para qualquer valor de x
que seja menor que 100 ou maior que 500,
teremos prejuízo, pois encontraremos valores
menores que zero para h(x). Perceba aqui também
que quando x é igual a 300 temos o maior valor possível
para h(x), ou seja, teremos o máximo lucro possível aqui com
esse número de skates sendo vendidos. Conseguiu compreender
tudo direitinho? Então, tudo isso que vimos aqui
se refere à função quadrática. A função quadrática é uma função real
que pode ser escrita da seguinte forma: f(x) igual a
“ax² mais bx mais c”, com “a”, “b” e “c”
sendo números reais e "a" sendo
diferente de zero. Em nossa função que
usamos como exemplo, "a" é igual a -1, mesmo
ele não aparecendo explicitamente. "b" é igual a 600
e "c" é igual a -50.000. Enfim, espero que você
tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos
aqui nesta aula e mais uma vez eu quero deixar
para você um grande abraço e dizer que encontro você
na próxima. Então, até lá!