Função quadrática, ou função do segundo grau, são funções de origem remota, pois surgem do conceito das equações quadráticas. O termo "quadrático" se refere a um dos modos como ela era resolvida geometricamente pelos antigos matemáticos. Elas eram representadas como partes de um quadrado que, quando completo, determinava suas soluções por meio da medida dos segmentos de reta usados.

Neste artigo, será abordado o conceito de ponto de máximo e ponto de mínimo desse tipo de função.

Com o desenvolvimento bélico durante a alvorada da idade moderna, a função quadrática se mostrou muito útil para modelar a trajetória de uma bola de canhão dada a natureza parabólica do seu gráfico no plano cartesiano.

Imagine a situação em que um projétil, inicialmente em repouso, é lançado numa posição inicial ${\text{x}}_0=0$‍. Ao relacionar a altura $\text{y}=\text{f(x)}$‍ que é alcançada com a distância ($\text{x}$‍), obtém-se a função $\text{f(x)}=-{\text{x}}^2+3\text{x}$‍. Seu gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, como pode ser visto na imagem a seguir.

Mediante a análise do gráfico, note que a função é crescente em $]-\infty ,+1.5[$‍ e decrescente em $]+1.5;+\infty [$‍. Assim, em $\text{x}=1,5$‍, para a qual a função muda seu comportamento de crescente para decrescente, ela apresentará um ponto de máximo, que será dado por $(1,5;\text{f}(1,5))$‍. Calculando a imagem da função para tal valor, obtemos o valor de máximo da função, que neste caso é $\text{y}=2,25$‍. Em outras palavras, a altura máxima atingida pelo projétil será de $2,25\text{m}$‍ em relação ao solo.

Pode-se concluir, então, que o ponto de máximo é um ponto do gráfico da função onde há a mudança de comportamento da função, sendo o valor de máximo o valor obtido quando calculamos a imagem da função nesse ponto.

De modo análogo ao caso anterior, podemos também determinar o ponto de mínimo e valores de mínimos de algumas funções quadráticas. O método será semelhante: uma analise do gráfico da função observando em qual ponto a função mudará de decrescente para crescente.

Considere a seguinte situação, em que um empreendedor quer minimizar os prejuízos de sua empresa no semestre. Para isso, ele deve saber qual a quantidade mínima de funcionários a serem contratados de modo que seu investimento seja o menor possível. O custo que ele terá nessa ação é dada pela função $\text{g(x)}={\text{x}}^2-4\text{x}+10$‍, onde $\text{g}$‍ será o custo e $\text{x}$‍ será o número de funcionários. O gráfico de $\text{g}$‍ se encontra representado a seguir.

Pode-se notar que a função é decrescente até o ponto $\text{C}=(2,\text{f}(2))$‍ e que, a partir dele, ela se torna crescente. Pode-se, então, deduzir que o ponto $\text{C}$‍ é um ponto de mínimo da função. Como se procura minimizar a função $\text{g}$‍, o número de funcionários a ser contratado é $\text{x}=2$‍. A propósito, o valor de mínimo da função é $\text{g(2)=6}$‍.

Diante do que foi analisado neste artigo, quando uma função muda seu comportamento de crescente para decrescente, é identificado um ponto de máximo da função. Contudo, quando uma função muda seu comportamento de decrescente para crescente, isso implica que há um ponto de mínimo.

Os dois exemplos discutidos foram analisando funções de segundo grau, mas existem outros tipos de funções que podem admitir um número maior de máximos e mínimos. Inclusive, algumas delas apresentam máximos e mínimos em diferentes intervalos. Veja, por exemplo, o caso das ondas de uma maré: eventualmente, elas alcançam alturas máximas e mínimas ao longo de um certo intervalo de tempo. As funções que representam esse comportamento geralmente têm a característica das funções senoidais. A figura abaixo apresenta um possível gráfico de uma função senoidal: