Compare as características das funções do segundo grau

RKA - Vamos comparar nesse vídeo algumas funções quadráticas. Nesse primeiro exemplo, vemos uma função g(x) e ele pergunta: qual destas funções, f(x) ou g(x), tem interseção maior no eixo y? De cara nós vemos que, pelo gráfico de g(x), ele intercepta o eixo y no ponto 3. Para descobrirmos qual é o ponto que f(x) intercepta o eixo y, vamos fazer x igual a 0. Quando x for igual a 0, vamos achar o ponto que ele intercepta o eixo y. Portanto, fica 2 vezes 0² -6 vezes 0 mais 4. Então, ele intercepta no ponto 4. Portanto, f(x) intercepta no ponto 4, e, obviamente, o f(x) intercepta o eixo y no ponto maior do que g(x). Vamos ver outro exemplo. Nesse outro exemplo, vemos pelo gráfico, as raízes de g(x) nós já sabemos. Vamos ver se nós podemos calcular as raízes de f(x). Para sabermos as raízes de f(x), fazemos f(x)=0. Então, você tem 0 = x² + x - 6. Lembrando que quando o coeficiente de x² é 1, esse coeficiente de x vale menos a soma das raízes e este aqui vale o produto. Então, a pergunta é: qual as raízes cujo produto é -6 e cuja soma é -1? Então, se você descobrir qual é a soma de dois números que dá -1, e a multiplicação da -6, você consegue fatorar esse polinômio. Então, se você colocar uma raiz x₁ igual - 3 e x₂ igual a 2, você verifica que, somando as duas raízes, você vai encontrar -1 e multiplicando as duas raízes, você vai obter -6. Portanto, você vai ter as raízes -3, -1. Então, como é que você escreve esse polinômio? Você escreve dessa forma: (x + 3) . (x - 2), pois, se você substituir x por -3, esse fator aqui dá 0. Então, multiplicado por qualquer coisa dá 0. E se você substituir esse x por 2, esse fator aqui dá 0, e multiplicado qualquer um dá 0. Então, nós temos que as raízes são -3 e 2. Portanto, você tem -3 e você tem 2. Então, quantas raízes essas duas funções, g(x) e f(x), têm em comum? Elas têm uma única raiz em comum. Portanto, a resposta é 1. Vamos ver outro exemplo. Neste terceiro exemplo, vamos comparar concavidade. g(x) nós já vemos que a concavidade é para baixo. Agora, f(x), a concavidade é pra cima ou para baixo? Quem vai nos dizer qual é a concavidade de uma função é o coeficiente que está na frente de x², pois, se você tem a concavidade pra cima ou a concavidade para baixo, quando o x é muito grande, +1 mil, +1 milhão, ou muito pequeno, -1 mil, -1 milhão, ele elevado ao quadrado sempre vai dar positivo. Portanto, essa concavidade não importa se o x for crescente ou x for cada vez mais negativo, a função vai ficar sempre positiva. Ou seja, esse coeficiente, que nós chamamos de "a", se ele for maior do que 0, a concavidade é pra cima, pois, ele cresce independentemente do valor de x. Ou seja, quando x cresce, ele cresce. Quando x fica cada vez mais negativo, a função cresce também. Portanto, essa concavidade é pra cima. É maior do que zero. "a" é maior do que zero. Já o g(x), a concavidade é para baixo. Então, as duas não têm a mesma concavidade.