Introdução à forma canônica

RKA2G - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos ver uma introdução a respeito da forma canônica da equação do segundo grau. Pode não parecer, mas estas três equações representam a mesma coisa. A diferença é que elas estão em formas diferentes. Esta primeira é a forma normal, que já estamos acostumados, a segunda é a forma fatorada e a terceira é a forma que vamos focar neste vídeo. Esta é o que chamamos de forma canônica. Mas claro, eu não vou focar, neste vídeo, em como você chega a cada uma dessas formas. O que eu quero mostrar para vocês é por que chamamos isso de forma canônica ou também de forma de vértice. Vamos começar lembrando o que é um vértice. Você provavelmente deve lembrar, de outros vídeos, que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. E essa parábola pode ter concavidade para cima ou para baixo. Neste caso em particular, a concavidade vai ser para cima. Vai ser algo mais ou menos assim. E este ponto aqui é o vértice, que, neste caso, é o ponto mínimo. E este vértice tem uma coordenada "x" bem aqui e uma coordenada "y" aqui. É o que chamamos de "x" do vértice e "y" do vértice. E o motivo de chamarmos de forma canônica ou forma do vértice é que podemos descobrir este vértice aqui olhando apenas para esta equação. E como podemos fazer isso? Deixe-me reescrever a equação aqui. Nós temos que y = 3 vezes (x + 2)² - 27. Uma coisa interessante a se saber é que esta parte sempre vai ser positiva, porque este "x + 2" está elevado ao quadrado e todo número elevado ao quadrado dá positivo. E, como isto também é positivo, toda esta parte vai ser positiva, ou seja, vai ser maior ou igual a zero. Isso porque, se dois números positivos estão se multiplicando, o resultado tem que dar um número positivo. Outra coisa interessante é que estamos subtraindo esta parte por 27. Por isso, só vamos ter este ponto mínimo para esta parábola quando esta parte aqui for zero. Ou seja, o menor ponto possível é quando isto aqui é zero. Ok, mas quando isso vai dar zero? Vai dar zero quando "x + 2" for igual a zero. Se subtrairmos os dois lados desta equação por -2, nós vamos ter que x = - 2. Portanto, este -2 é a coordenada "x" do vértice. E qual é a coordenada "y" do vértice? Quando "x" for igual a -2, tudo isso vai dar zero, o que significa que o "y" vai ser igual a -27. É o menor valor possível para "y". Portanto, -27 é o "y" do vértice. A coordenada do vértice é (-2, -27). O interessante da forma canônica é que você pode descobrir o vértice somente olhando para a equação. É por isso que chamamos de forma canônica ou forma do vértice. Vamos olhar mais um exemplo para fixar isso bem. Vamos ver o caso onde a concavidade da parábola é voltada para baixo. Vamos dizer que nós temos y = -2, que multiplica (x - 5)² + 10. Olhando para esta equação, observe que esta parte sempre vai ser positiva, porque todo número elevado ao quadrado dá positivo, mas tem um -2 aqui multiplicando-a. Por isso, tudo isto vai ser menor ou igual a zero. Se isto aqui for zero, só vai restar o +10, não é? Mas como poderíamos descobrir o ponto máximo? O ponto máximo só vai ser atingido quando tudo isto aqui for zero. Isso porque não vamos tirar nada deste +10 aqui. E, claro, esta parte só vai ser zero quando este "x - 5" for igual a zero. x - 5 = 0 significa que x = 5. Esta é a coordenada "x" do vértice. E qual é a coordenada "y"? Se isto tudo for zero, só vai restar o 10, não é? Portanto, a coordenada "y" do vértice é o próprio 10. Se eu quisesse colocar essa coordenada no plano cartesiano, o 5 estaria mais ou menos aqui e o 10, mais ou menos aqui. E aí, este ponto seria o vértice, que, no caso, é (5, 10). Com isso, a parábola com concavidade para cima vai estar mais ou menos aqui. Mas claro, eu não sei exatamente onde estão as raízes. Só estou representando aqui para mostrar a parábola para vocês. Este seria o eixo "x" e este, o eixo "y". Vamos ver um último exemplo só para ver se você fixou bem isso. Digamos que eu tenho aqui y = -π, que multiplica (x - 2,8)² + 7,1. Qual é o vértice desta parábola? O "x" do vértice vai ser o valor que torna isto zero, que, no caso, é o próprio 2,8. Então, o "x" do vértice é 2,8. E, quando isto for zero, este vai ser o "y" do vértice, que, no caso, é 7,1. Agora que você conhece a forma canônica da equação do segundo grau, fica bem fácil de determinar o vértice quando você tem essa forma, não é? Eu espero que esta aula tenha te ajudado e até a próxima, pessoal!