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Conjunto Domínio, Conjunto Contradomínio e o Conjunto Imagem de uma função

O foco desse artigo é sistematizar os conceitos de conjunto domínio, conjunto contradomínio e conjunto imagem de uma função através da análise da lei de formação que representa a função e de seu gráfico.
Neste artigo, vamos estudar os conceitos de conjunto domínio, conjunto contradomínio e conjunto imagem de uma função por meio da análise da lei de formação que representa a função e de seu gráfico.
Como primeiro questionamento, será que sempre é possível substituir qualquer valor de x em uma função para determinar sua imagem ou há algum tipo de restrição?
Para responder a essa pergunta, vamos analisar algumas funções reais.
Exemplo 1
Observe função real f(x):
f(x)=x²4x5
Ela representa uma função do 2º grau.
Devemos lembrar que domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x válidos para a função. Nesse caso, posso elevar qualquer número ao quadrado, em seguida, retirar o quádruplo desse número e, ao final, retirar 5. Vamos obter qualquer número real como resposta.
Vamos analisar alguns valores do domínio e suas respectivas imagens:
xf(x)=x²4x5f(x)
00²4×05=5
5(5)²4×(5)5=40
88²4×85=27
Uma função do 2º grau não apresenta restrições para seu domínio, e seu contradomínio será sempre os números reais. Por isso, quando nos referimos a funções desse tipo, escrevemos: f: R R. O mesmo acontece com funções do 1º grau (f(x)=ax+b, com a0).
A imagem de uma função do 2º grau dependerá da concavidade de sua parábola e da imagem de seu vértice.
Vamos observar seu gráfico:
Gráfico 1: Gráfico da função f(x)=x²4x5.
Os valores que são imagem para essa função são os valores de y maiores ou iguais a 9.
Podemos, ainda, pensar em um diagrama para essa função. Como ela admite infinitos números no domínio e na imagem, não é possível marcar todos os seus pontos. Vamos marcar apenas os 3 valores citados acima:
Imagem 1: Diagrama da função f(x)=x²4x5
Vejamos agora outro exemplo:
Exemplo 2
Observe função real g(x):
g(x)=1x
Na função g(x), é possível determinar a imagem de qualquer número real, exceto 0, pois a divisão por 0 não é aceita na Matemática. Da mesma forma que a função anterior, podemos pensar em alguns números para substituir por x e achar a imagem correspondente. Ou podemos fazer ao contrário: pensar em quais valores nos dão a imagem preestabelecida. Essa função representa o inverso de um número, e, dessa forma, se pensarmos em 3, por exemplo, sua imagem será 13 e se pensarmos que número x nos dá uma imagem igual a 10, chegaríamos à conclusão que seria x=110.
Logo, o diagrama proposto para esse item conterá alguns dos valores reais e suas respectivas imagens, exceto para o valor 0.
Imagem 2: Diagrama da função g(x)=1x
É importante perceber que 0 não pode pertencer ao conjunto domínio, pois, pela
, todo elemento do primeiro conjunto deve possuir um único correspondente no segundo conjunto, e este não possui nenhuma. Daí, é possível representar algebricamente o conjunto domínio da função como sendo:
D(g)= { xR/x0 }
Podemos perceber, por meio do gráfico da função, o porquê dessa função não ter o valor 0 em seu domínio:
Gráfico 2: Gráfico da função f(x)=1x.
A imagem do gráfico nos mostra que os valores que a função assume são muito próximos a 0; contudo, nunca ocorrerá de o valor ser exatamente zero, pois isso seria uma indeterminação matemática (10).

Exemplo 3

Observe função real h(x):
h(x)=12x+5
Esse tipo de função possui 2 restrições. A primeira é a mesma observada anteriormente. Como é uma fração, essa fração não pode ter um denominador igual a 0, pois é indefinido. Então, se existir algum valor de x que faça o denominador ser nulo, esse valor não poderá fazer parte do domínio.
Para descobrir isso, basta igualar a 0 o que está dentro da raiz (o radicando):
2x+5=0
2x=5
x=52
Logo, a primeira restrição é x52.
Mas ainda temos mais um problema: para os números reais, não estão definidas raízes quadradas de números negativos (isso vale também para todas as raízes de índices pares, como raiz quarta).
Pensando nisso, o radicando deve ser positivo:
2x+5>0
2x>5
x>52
Quando coloco que o radicando deve ser positivo, já estou excluindo a possibilidade de ele ser nulo. Se nossa função fosse apenas h(x)=2x+5, a restrição seria que 2x+50, uma vez que 0=0.
Vamos observar seu gráfico para uma melhor observação:
Gráfico 3: Gráfico da função h(x)=12x+5.
Note que a função não tem sua curva para valores de x menores que 2,5.
Podemos estabelecer algebricamente o domínio da seguinte forma:
D(h)= { xR/x>52 }.
Podemos observar também a imagem dessa função por meio do gráfico. Como o denominador da função será sempre positivo (a resposta da raiz quadrada sempre será positiva), ao dividir 1 por qualquer número positivo, sempre teremos uma resposta positiva.
Logo, a imagem dessa função será y>0:
Im(h)= { yR/y>0 }.
Resumindo:
o conjunto domínio de uma função é composto de todos os valores para os quais a função está definida;
o conjunto contradomínio de uma função é formado pelos possíveis valores que a função pode assumir;
o conjunto imagem da função é formado apenas pelas imagens obtidas pela função.

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