Neste artigo, vamos estudar os conceitos de conjunto domínio, conjunto contradomínio e conjunto imagem de uma função por meio da análise da lei de formação que representa a função e de seu gráfico.

Para responder a essa pergunta, vamos analisar algumas funções reais.

Observe função real $f(x)$‍:

Ela representa uma função do $2º$‍ grau.
Devemos lembrar que domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $x$‍ válidos para a função. Nesse caso, posso elevar qualquer número ao quadrado, em seguida, retirar o quádruplo desse número e, ao final, retirar $5$‍. Vamos obter qualquer número real como resposta.

Vamos analisar alguns valores do domínio e suas respectivas imagens:

Uma função do $2º$‍ grau não apresenta restrições para seu domínio, e seu contradomínio será sempre os números reais. Por isso, quando nos referimos a funções desse tipo, escrevemos: $f$‍: $\mathbb{R}$‍$\to$‍ $\mathbb{R}$‍. O mesmo acontece com funções do $1º$‍ grau ($f(x)=ax+b$‍, com $a\ne 0$‍).

A imagem de uma função do $2º$‍ grau dependerá da concavidade de sua parábola e da imagem de seu vértice.

Vamos observar seu gráfico:

Os valores que são imagem para essa função são os valores de $y$‍ maiores ou iguais a $-9$‍.

Podemos, ainda, pensar em um diagrama para essa função. Como ela admite infinitos números no domínio e na imagem, não é possível marcar todos os seus pontos. Vamos marcar apenas os $3$‍ valores citados acima:

Vejamos agora outro exemplo:

Observe função real $g(x)$‍:

Na função $g(x)$‍, é possível determinar a imagem de qualquer número real, exceto $0$‍, pois a divisão por $0$‍ não é aceita na Matemática. Da mesma forma que a função anterior, podemos pensar em alguns números para substituir por $x$‍ e achar a imagem correspondente. Ou podemos fazer ao contrário: pensar em quais valores nos dão a imagem preestabelecida. Essa função representa o inverso de um número, e, dessa forma, se pensarmos em $3$‍, por exemplo, sua imagem será ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ e se pensarmos que número $x$‍ nos dá uma imagem igual a $-10$‍, chegaríamos à conclusão que seria $x=-{\displaystyle \frac{1}{10}}.$‍

Logo, o diagrama proposto para esse item conterá alguns dos valores reais e suas respectivas imagens, exceto para o valor $0$‍.

É importante perceber que $0$‍ não pode pertencer ao conjunto domínio, pois, pela , todo elemento do primeiro conjunto deve possuir um único correspondente no segundo conjunto, e este não possui nenhuma. Daí, é possível representar algebricamente o conjunto domínio da função como sendo:

Podemos perceber, por meio do gráfico da função, o porquê dessa função não ter o valor $0$‍ em seu domínio:

A imagem do gráfico nos mostra que os valores que a função assume são muito próximos a $0$‍; contudo, nunca ocorrerá de o valor ser exatamente zero, pois isso seria uma indeterminação matemática $({\displaystyle \frac{1}{0}}).$‍

Observe função real $h(x)$‍:

Esse tipo de função possui $2$‍ restrições. A primeira é a mesma observada anteriormente. Como é uma fração, essa fração não pode ter um denominador igual a $0$‍, pois é indefinido. Então, se existir algum valor de $x$‍ que faça o denominador ser nulo, esse valor não poderá fazer parte do domínio.

Para descobrir isso, basta igualar a $0$‍ o que está dentro da raiz (o radicando):

Logo, a primeira restrição é $x\ne -{\displaystyle \frac{5}{2}}$‍.

Mas ainda temos mais um problema: para os números reais, não estão definidas raízes quadradas de números negativos (isso vale também para todas as raízes de índices pares, como raiz quarta).

Pensando nisso, o radicando deve ser positivo:

Quando coloco que o radicando deve ser positivo, já estou excluindo a possibilidade de ele ser nulo. Se nossa função fosse apenas $h(x)=\sqrt{2x+5}$‍, a restrição seria que $2x+5\ge 0$‍, uma vez que $\sqrt{0}=0$‍.

Vamos observar seu gráfico para uma melhor observação:

Note que a função não tem sua curva para valores de $x$‍ menores que $-2,5$‍.

Podemos estabelecer algebricamente o domínio da seguinte forma:

$D(h)=$‍ $\{$‍ $x\in \mathbb{R}/x>-{\displaystyle \frac{5}{2}}$‍ $\}$‍.

Podemos observar também a imagem dessa função por meio do gráfico. Como o denominador da função será sempre positivo (a resposta da raiz quadrada sempre será positiva), ao dividir $1$‍ por qualquer número positivo, sempre teremos uma resposta positiva.

Logo, a imagem dessa função será $y>0$‍:

$Im(h)=$‍ $\{$‍ $y\in \mathbb{R}/y>0$‍ $\}$‍.

Resumindo:

$\bullet$‍ o conjunto domínio de uma função é composto de todos os valores para os quais a função está definida;

$\bullet$‍ o conjunto contradomínio de uma função é formado pelos possíveis valores que a função pode assumir;

$\bullet$‍ o conjunto imagem da função é formado apenas pelas imagens obtidas pela função.