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Matemática EM: Álgebra 1
Curso: Matemática EM: Álgebra 1 > Unidade 4
Lição 5: Conjunto domínio, conjunto contradomínio e conjunto imagem de uma função- Intervalos e notação de intervalo
- O que é o domínio de uma função?
- O que é o contradomínio de uma função?
- Exemplo resolvido: domínio e contradomínio a partir de um gráfico
- Domínio e contradomínio de uma função representada no gráfico
- Conjunto Domínio, Conjunto Contradomínio e o Conjunto Imagem de uma função
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Conjunto Domínio, Conjunto Contradomínio e o Conjunto Imagem de uma função
O foco desse artigo é sistematizar os conceitos de conjunto domínio, conjunto contradomínio e conjunto imagem de uma função através da análise da lei de formação que representa a função e de seu gráfico.
Neste artigo, vamos estudar os conceitos de conjunto domínio, conjunto contradomínio e conjunto imagem de uma função por meio da análise da lei de formação que representa a função e de seu gráfico.
Como primeiro questionamento, será que sempre é possível substituir qualquer valor de em uma função para determinar sua imagem ou há algum tipo de restrição?
Para responder a essa pergunta, vamos analisar algumas funções reais.
Exemplo 1
Observe função real :
Ela representa uma função do grau.
Devemos lembrar que domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de válidos para a função. Nesse caso, posso elevar qualquer número ao quadrado, em seguida, retirar o quádruplo desse número e, ao final, retirar . Vamos obter qualquer número real como resposta.
Devemos lembrar que domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
Vamos analisar alguns valores do domínio e suas respectivas imagens:
Uma função do grau não apresenta restrições para seu domínio, e seu contradomínio será sempre os números reais. Por isso, quando nos referimos a funções desse tipo, escrevemos: : . O mesmo acontece com funções do grau ( , com ).
A imagem de uma função do grau dependerá da concavidade de sua parábola e da imagem de seu vértice.
Vamos observar seu gráfico:
Os valores que são imagem para essa função são os valores de maiores ou iguais a .
Podemos, ainda, pensar em um diagrama para essa função. Como ela admite infinitos números no domínio e na imagem, não é possível marcar todos os seus pontos. Vamos marcar apenas os valores citados acima:
Vejamos agora outro exemplo:
Exemplo 2
Observe função real :
Na função , é possível determinar a imagem de qualquer número real, exceto , pois a divisão por não é aceita na Matemática.
Da mesma forma que a função anterior, podemos pensar em alguns números para substituir por e achar a imagem correspondente. Ou podemos fazer ao contrário: pensar em quais valores nos dão a imagem preestabelecida.
Essa função representa o inverso de um número, e, dessa forma, se pensarmos em , por exemplo, sua imagem será e se pensarmos que número nos dá uma imagem igual a , chegaríamos à conclusão que seria
Logo, o diagrama proposto para esse item conterá alguns dos valores reais e suas respectivas imagens, exceto para o valor .
É importante perceber que não pode pertencer ao conjunto domínio, pois, pela , todo elemento do primeiro conjunto deve possuir um único correspondente no segundo conjunto, e este não possui nenhuma. Daí, é possível representar algebricamente o conjunto domínio da função como sendo:
Podemos perceber, por meio do gráfico da função, o porquê dessa função não ter o valor em seu domínio:
A imagem do gráfico nos mostra que os valores que a função assume são muito próximos a ; contudo, nunca ocorrerá de o valor ser exatamente zero, pois isso seria uma indeterminação matemática
Exemplo 3
Observe função real :
Esse tipo de função possui restrições. A primeira é a mesma observada anteriormente. Como é uma fração, essa fração não pode ter um denominador igual a , pois é indefinido. Então, se existir algum valor de que faça o denominador ser nulo, esse valor não poderá fazer parte do domínio.
Para descobrir isso, basta igualar a o que está dentro da raiz (o radicando):
Logo, a primeira restrição é .
Mas ainda temos mais um problema: para os números reais, não estão definidas raízes quadradas de números negativos (isso vale também para todas as raízes de índices pares, como raiz quarta).
Pensando nisso, o radicando deve ser positivo:
Quando coloco que o radicando deve ser positivo, já estou excluindo a possibilidade de ele ser nulo. Se nossa função fosse apenas , a restrição seria que , uma vez que .
Vamos observar seu gráfico para uma melhor observação:
Note que a função não tem sua curva para valores de menores que .
Podemos estabelecer algebricamente o domínio da seguinte forma:
Podemos observar também a imagem dessa função por meio do gráfico. Como o denominador da função será sempre positivo (a resposta da raiz quadrada sempre será positiva), ao dividir por qualquer número positivo, sempre teremos uma resposta positiva.
Logo, a imagem dessa função será :
Resumindo:
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