Conteúdo principal
Matemática EM: Álgebra 1
Curso: Matemática EM: Álgebra 1 > Unidade 4
Lição 7: Funções crescentes e funções decrescentesFunção Crescente e Função Decrescente
O foco desse artigo é formalizar o conceito de função crescente e função decrescente junto ao estudante.
Neste artigo, será dada atenção à análise do comportamento gráfico de uma função, com o objetivo de discutir quando uma função é crescente ou decrescente.
Os valores de máximos e mínimos de uma função podem ser determinados observando em qual momento a função muda seu comportamento de crescente para decrescente, e vice-versa. Essa ideia será central para a formalização do conceito de função crescente e decrescente.
Função crescente
Para discutir o significado de uma função ser crescente, considere o exemplo em que a função é dada por .
A tabela abaixo mostra o comportamento da função para os valores de e :
Perceba que, à medida que o valor de aumenta, o valor correspondente pela aumenta também, o que também acontece com os valores de que não são necessariamente naturais, como é possível ver no gráfico a seguir.
Outra possibilidade é visualizar esse comportamento via formulação algébrica. No mesmo caso dos números presentes na tabela, pode-se deduzir que para quaisquer tem-se a seguinte relação: se , então . Um exemplo mais concreto é: quando e , temos , o que implica , uma vez que e , o que estabelece a definição geral para uma função crescente.
Algumas funções se comportam de modo crescente em algumas partes e de modo constante em outras; elas são chamadas de monótonas crescentes. Para elucidar, considere uma função que relaciona as notas de um boletim de Pedro, estudante de Matemática do Ensino Fundamental II:
Veja que, quanto maior o valor do período, maior nota Pedro apresentou em seu boletim, e nos dois últimos anos ele obteve a mesma nota. Sendo assim, até o 7º ano ele apresentou um comportamento crescente e, depois disso, manteve uma constante, configurando assim uma função monótona crescente.
Funções decrescentes
O conceito de funções decrescentes é análogo ao das funções crescentes. O que acontece nessas classes de funções é que, à medida que os valores de aumentam, os valores correspondentes de diminuem. Em simbologia algébrica, seria o equivalente a dizer que , então, .
A função é um ótimo exemplo de função decrescente, dado que, à medida que o valor de aumenta, mais distante da origem fica o valor correspondente . Usando a simbologia apresentada, veja que, se , então (via lei de desigualdades), . Exemplo: quando e , temos , o que implica em , uma vez que e , o que estabelece a definição geral para uma função decrescente.
A definição de uma função monótona decrescente é também análoga ao caso das funções crescentes.
Com isso se pode dizer que uma função é dita crescente quando para temos . Em contrapartida, será decrescente se, num determinado intervalo, quando para , tem-se .
Além da classe de funções crescentes e decrescentes, existem funções que não são crescentes nem decrescentes. Observe o gráfico da função quadrática:
Veja que, no ponto , a parábola muda de comportamento. No intervalo ela é crescente, porém, em ela se torna decrescente.
Observe finalmente que, quando se restringe o domínio da função para um dos dois intervalos, a função obtida será crescente quando o domínio for e decrescente quando ele for .
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.