Neste artigo, será dada atenção à análise do comportamento gráfico de uma função, com o objetivo de discutir quando uma função é crescente ou decrescente.

Os valores de máximos e mínimos de uma função podem ser determinados observando em qual momento a função muda seu comportamento de crescente para decrescente, e vice-versa. Essa ideia será central para a formalização do conceito de função crescente e decrescente.

Para discutir o significado de uma função ser crescente, considere o exemplo em que a função é dada por $f(x)=2x+1$‍.

A tabela abaixo mostra o comportamento da função para os valores de $1,2,3$‍ e $4$‍:

Perceba que, à medida que o valor de $x$‍ aumenta, o valor correspondente pela $f(x)$‍ aumenta também, o que também acontece com os valores de $x$‍ que não são necessariamente naturais, como é possível ver no gráfico a seguir.

Outra possibilidade é visualizar esse comportamento via formulação algébrica. No mesmo caso dos números presentes na tabela, pode-se deduzir que para quaisquer $f(x),f(y)\in \mathbb{R}$‍ tem-se a seguinte relação: se $x>y$‍, então $f(x)>f(y)$‍. Um exemplo mais concreto é: quando $x=2$‍ e $y=1$‍, temos $x>\text{y}$‍, o que implica $f(x)>f(y)$‍, uma vez que $f(x)=5$‍ e $f(y)=3$‍, o que estabelece a definição geral para uma função crescente.

Algumas funções se comportam de modo crescente em algumas partes e de modo constante em outras; elas são chamadas de monótonas crescentes. Para elucidar, considere uma função que relaciona as notas de um boletim de Pedro, estudante de Matemática do Ensino Fundamental II:

Veja que, quanto maior o valor do período, maior nota Pedro apresentou em seu boletim, e nos dois últimos anos ele obteve a mesma nota. Sendo assim, até o 7º ano ele apresentou um comportamento crescente e, depois disso, manteve uma constante, configurando assim uma função monótona crescente.

O conceito de funções decrescentes é análogo ao das funções crescentes. O que acontece nessas classes de funções é que, à medida que os valores de $x$‍ aumentam, os valores correspondentes de $f(x)$‍ diminuem. Em simbologia algébrica, seria o equivalente a dizer que $x>\text{y}$‍, então, $f(x)<f(y)$‍.

A função $f(x)=-x$‍ é um ótimo exemplo de função decrescente, dado que, à medida que o valor de $x$‍ aumenta, mais distante da origem fica o valor correspondente $-x$‍. Usando a simbologia apresentada, veja que, se $x>y$‍, então (via lei de desigualdades), $f(x)=-\text{x}<-\text{y}=f(y)$‍. Exemplo: quando $x=2$‍ e $y=1$‍, temos $x>y$‍, o que implica em $f(x)<f(y)$‍, uma vez que $f(x)=-2$‍ e $f(y)=-1$‍, o que estabelece a definição geral para uma função decrescente.

A definição de uma função monótona decrescente é também análoga ao caso das funções crescentes.

Com isso se pode dizer que uma função é dita crescente quando para $x_1>x_2$‍ temos $f(x_1)>f(x_2)$‍. Em contrapartida, será decrescente se, num determinado intervalo, quando para $x_1>x_2$‍, tem-se $f(x_1)<f(x_2)$‍.

Além da classe de funções crescentes e decrescentes, existem funções que não são crescentes nem decrescentes. Observe o gráfico da função quadrática:

Veja que, no ponto $(1,5)$‍, a parábola muda de comportamento. No intervalo $\text{]-∞,+1,}\text{5[ }$‍ ela é crescente, porém, em $\text{]+1,}\text{5; + ∞[}$‍ ela se torna decrescente.

Observe finalmente que, quando se restringe o domínio da função para um dos dois intervalos, a função obtida será crescente quando o domínio for $\text{]-∞,+1,}\text{5[ }$‍ e decrescente quando ele for $\text{]+1,}\text{5; + ∞[}$‍.