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Função Crescente e Função Decrescente

O foco desse artigo é formalizar o conceito de função crescente e função decrescente junto ao estudante.
Neste artigo, será dada atenção à análise do comportamento gráfico de uma função, com o objetivo de discutir quando uma função é crescente ou decrescente.
Os valores de máximos e mínimos de uma função podem ser determinados observando em qual momento a função muda seu comportamento de crescente para decrescente, e vice-versa. Essa ideia será central para a formalização do conceito de função crescente e decrescente.

Função crescente

Para discutir o significado de uma função ser crescente, considere o exemplo em que a função é dada por f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, plus, 1.
A tabela abaixo mostra o comportamento da função para os valores de 1, comma, 2, comma, 3 e 4:
start text, x, end textstart text, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end text
1start text, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, end text, equals, 2, times, 1, plus, 1, equals, 3
2start text, f, left parenthesis, 2, right parenthesis, end text, equals, 2, times, 2, plus, 1, equals, 5
3start text, f, left parenthesis, 3, right parenthesis, end text, equals, 2, times, 3, plus, 1, equals, 7
4start text, f, left parenthesis, 4, right parenthesis, end text, equals, 2, times, 4, plus, 1, equals, 9
Perceba que, à medida que o valor de x aumenta, o valor correspondente pela f, left parenthesis, x, right parenthesis aumenta também, o que também acontece com os valores de x que não são necessariamente naturais, como é possível ver no gráfico a seguir.
Gráfico 1: Função Crescente.
Outra possibilidade é visualizar esse comportamento via formulação algébrica. No mesmo caso dos números presentes na tabela, pode-se deduzir que para quaisquer f, left parenthesis, x, right parenthesis, comma, f, left parenthesis, y, right parenthesis, \in, R tem-se a seguinte relação: se x, is greater than, y, então f, left parenthesis, x, right parenthesis, is greater than, f, left parenthesis, y, right parenthesis. Um exemplo mais concreto é: quando x, equals, 2 e y, equals, 1, temos x, is greater than, start text, y, end text, o que implica f, left parenthesis, x, right parenthesis, is greater than, f, left parenthesis, y, right parenthesis, uma vez que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5 e f, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, 3, o que estabelece a definição geral para uma função crescente.
Algumas funções se comportam de modo crescente em algumas partes e de modo constante em outras; elas são chamadas de monótonas crescentes. Para elucidar, considere uma função que relaciona as notas de um boletim de Pedro, estudante de Matemática do Ensino Fundamental II:
P, e, r, ı, with, acute, on top, o, d, oB, o, l, e, t, i, m
start text, 6, º, space, a, n, o, end text7, comma, 8
start text, 7, º, space, a, n, o, end text7, comma, 9
start text, 8, º, space, a, n, o, end text8, comma, 0
start text, 9, º, space, a, n, o, end text8, comma, 0
Veja que, quanto maior o valor do período, maior nota Pedro apresentou em seu boletim, e nos dois últimos anos ele obteve a mesma nota. Sendo assim, até o 7º ano ele apresentou um comportamento crescente e, depois disso, manteve uma constante, configurando assim uma função monótona crescente.

Funções decrescentes

O conceito de funções decrescentes é análogo ao das funções crescentes. O que acontece nessas classes de funções é que, à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de f, left parenthesis, x, right parenthesis diminuem. Em simbologia algébrica, seria o equivalente a dizer que x, is greater than, start text, y, end text, então, f, left parenthesis, x, right parenthesis, is less than, f, left parenthesis, y, right parenthesis.
A função f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x é um ótimo exemplo de função decrescente, dado que, à medida que o valor de x aumenta, mais distante da origem fica o valor correspondente minus, x. Usando a simbologia apresentada, veja que, se x, is greater than, y, então (via lei de desigualdades), f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, start text, x, end text, is less than, minus, start text, y, end text, equals, f, left parenthesis, y, right parenthesis. Exemplo: quando x, equals, 2 e y, equals, 1, temos x, is greater than, y, o que implica em f, left parenthesis, x, right parenthesis, is less than, f, left parenthesis, y, right parenthesis, uma vez que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2 e f, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, minus, 1, o que estabelece a definição geral para uma função decrescente.
A definição de uma função monótona decrescente é também análoga ao caso das funções crescentes.
Com isso se pode dizer que uma função é dita crescente quando para x, start subscript, 1, end subscript, is greater than, x, start subscript, 2, end subscript temos f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, is greater than, f, left parenthesis, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis. Em contrapartida, será decrescente se, num determinado intervalo, quando para x, start subscript, 1, end subscript, is greater than, x, start subscript, 2, end subscript, tem-se f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, is less than, f, left parenthesis, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis.
Além da classe de funções crescentes e decrescentes, existem funções que não são crescentes nem decrescentes. Observe o gráfico da função quadrática:
Gráfico 2: Função quadrática.
Veja que, no ponto left parenthesis, 1, comma, 5, right parenthesis, a parábola muda de comportamento. No intervalo start text, close bracket, negative, ∞, comma, plus, 1, comma, 5, open bracket, space, end text ela é crescente, porém, em start text, close bracket, plus, 1, comma, 5, ;, space, plus, space, ∞, open bracket, end text ela se torna decrescente.
Observe finalmente que, quando se restringe o domínio da função para um dos dois intervalos, a função obtida será crescente quando o domínio for start text, close bracket, negative, ∞, comma, plus, 1, comma, 5, open bracket, space, end text e decrescente quando ele for start text, close bracket, plus, 1, comma, 5, ;, space, plus, space, ∞, open bracket, end text.