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Ideia de função como máquina de transformar

O foco desse artigo é usar a ideia de função como máquina de transformar na qual para cada valor inserido corresponde um único valor obtido.
Uma função pode ser vista como uma regra que estabelece uma relação entre 2 conjuntos; é uma maneira de associar a cada valor x um único valor f, left parenthesis, x, right parenthesis. De maneira mais intuitiva, podemos interpretá-la como uma máquina de transformar na qual cada valor inserido corresponde a um único valor obtido.
Figura 1: Black Box.
Como a imagem sugere, a B, l, a, c, k B, o, x seria a regra de formação da função, e ao colocar uma entrada, a regra é aplicada e obtém-se um valor de saída. A regra é aplicada para cada valor de entrada e, assim, tem-se um valor correspondente. Um exemplo é o número de letras de uma palavra, em que a entrada seria uma palavra e a saída seria o número de letras dela. Então, ao inserir a palavra "matemática", a caixa daria como saída o número 10.
No caso das funções, nossa regra da B, l, a, c, k B, o, x é uma lei de formação matemática. Neste artigo será abordada essa ideia intuitiva permeando as funções, com seus respectivos gráficos e leis de formação.

Imagem de uma função

Todos os valores que compõem a saída da B, l, a, c, k B, o, x são conhecidos como imagem. No contexto matemático, um exemplo seria a função real definida por f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 5, x, plus, 6, na qual, ao se colocar como entrada o valor x, equals, 2, obtêm-se um dos seus elementos de imagem f, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 2, ², minus, 5, times, 2, plus, 6, equals, 0. Ou, ainda, com o valor de entrada x, equals, 3, o valor de f, left parenthesis, x, right parenthesis também será nulo, isso porque 2, comma, 3 são raízes do polinômio x, squared, minus, 5, x + 6.
Observação: essa é uma função em que dois valores do domínio podem ser associados a um mesmo valor na imagem.

Valores da função no gráfico

A análise dos valores de uma função feita apenas por uma substituição algébrica, como nos casos anteriores, nem sempre é suficiente para certos tipos de aplicação. Eventualmente, é necessário identificar esses valores no plano cartesiano para a construção do gráfico da função.
A imagem a seguir mostra o gráfico da função h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, squared, minus, 5, x, plus, 6 e a identificação da imagem do valor x, equals, minus, 2 na função dada.
Figura 2: Gráfico função do segundo grau.
Para construir o ponto, traçamos uma reta paralela ao eixo das abscissas até o valor de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis. Daí, usamos o mesmo processo e traçamos uma paralela com relação ao eixo das ordenadas até o valor de x. A intersecção entre essas duas retas será o ponto correspondente.
O eixo de simetria da parábola mostra que existem pelo menos dois pontos que têm um mesmo valor correspondente na imagem. Para tornar mais claro o que se está afirmando, veja que, olhando h como um polinômio do segundo grau, ele terá exatamente duas raízes reais, o que significa que existem dois valores de x e y reais, tais que x, equals, y, equals, 0.
A B, l, a, c, k B, o, x é uma maneira intuitiva de interpretar uma função, que é uma relação que associa cada x elemento do domínio a um único elemento y no contradomínio, e o resultado dessa engenharia aritmética é conhecido como imagem.