Uma função pode ser vista como uma regra que estabelece uma relação entre $2$2 conjuntos; é uma maneira de associar a cada valor $\textstyle{x}$x um único valor $\textstyle{f(x)}$f, left parenthesis, x, right parenthesis. De maneira mais intuitiva, podemos interpretá-la como uma máquina de transformar na qual cada valor inserido corresponde a um único valor obtido.

Como a imagem sugere, a $Black$B, l, a, c, k $Box$B, o, x seria a regra de formação da função, e ao colocar uma entrada, a regra é aplicada e obtém-se um valor de saída. A regra é aplicada para cada valor de entrada e, assim, tem-se um valor correspondente. Um exemplo é o número de letras de uma palavra, em que a entrada seria uma palavra e a saída seria o número de letras dela. Então, ao inserir a palavra "matemática", a caixa daria como saída o número $10$10.

No caso das funções, nossa regra da $Black$B, l, a, c, k $Box$B, o, x é uma lei de formação matemática. Neste artigo será abordada essa ideia intuitiva permeando as funções, com seus respectivos gráficos e leis de formação.

Todos os valores que compõem a saída da $Black$B, l, a, c, k $Box$B, o, x são conhecidos como imagem. No contexto matemático, um exemplo seria a função real definida por $\textstyle{f(x)}=\textstyle{x}^2-5\textstyle{x}+6$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 5, x, plus, 6, na qual, ao se colocar como entrada o valor $\textstyle{x}=2$x, equals, 2, obtêm-se um dos seus elementos de imagem $\textstyle{f(2)}=2²-5\times2+6=0$f, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 2, ², minus, 5, times, 2, plus, 6, equals, 0. Ou, ainda, com o valor de entrada $x=3$x, equals, 3, o valor de $\textstyle{f(x)}$f, left parenthesis, x, right parenthesis também será nulo, isso porque $2, 3$2, comma, 3 são raízes do polinômio $\textstyle{x}^2- 5\textstyle{x}$x, squared, minus, 5, x + $6$6.

Observação: essa é uma função em que dois valores do domínio podem ser associados a um mesmo valor na imagem.

A análise dos valores de uma função feita apenas por uma substituição algébrica, como nos casos anteriores, nem sempre é suficiente para certos tipos de aplicação. Eventualmente, é necessário identificar esses valores no plano cartesiano para a construção do gráfico da função.

A imagem a seguir mostra o gráfico da função $\textstyle{h(x)}=- \textstyle{x}^2-5\textstyle{x}+6$h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, squared, minus, 5, x, plus, 6 e a identificação da imagem do valor $\textstyle{x}=-2$x, equals, minus, 2 na função dada.

Para construir o ponto, traçamos uma reta paralela ao eixo das abscissas até o valor de $\textstyle{y}=f(x)$y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis. Daí, usamos o mesmo processo e traçamos uma paralela com relação ao eixo das ordenadas até o valor de $\textstyle{x}$x. A intersecção entre essas duas retas será o ponto correspondente.

O eixo de simetria da parábola mostra que existem pelo menos dois pontos que têm um mesmo valor correspondente na imagem. Para tornar mais claro o que se está afirmando, veja que, olhando $\textstyle{h}$h como um polinômio do segundo grau, ele terá exatamente duas raízes reais, o que significa que existem dois valores de $\textstyle{x}$x e $\textstyle{y}$y reais, tais que $\textstyle{x}=\textstyle{y}=0$x, equals, y, equals, 0.

A $Black$B, l, a, c, k $Box$B, o, x é uma maneira intuitiva de interpretar uma função, que é uma relação que associa cada $\textstyle{x}$x elemento do domínio a um único elemento $\textstyle{y}$y no contradomínio, e o resultado dessa engenharia aritmética é conhecido como imagem.