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Modelo de área para multiplicação de polinômios com termos negativos

Aprenda a multiplicar monômios por polinômios usando modelos de área. Esse método funciona mesmo quando trabalhamos com termos negativos! Ao visualizarmos o processo, podemos entender por que multiplicamos termos diferentes e como áreas negativas afetam a área total.

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  • Avatar starky sapling style do usuário 𝐇𝐚𝐫.𝐫𝐲
    Vamos tentar explicar essa coisa aí

    Basicamente, o método funciona como se fosse um tabuleiro de xadrez. No caso do vídeo mostrado, esse tabuleiro teria quatro casas. A fórmula seria +/- assim:

    c1 + c2 + c3 c4

    Considere que a quantia de algarismos pode variar de acordo com a proporção do polígono.

    Tá bom Harry, mas como raios vou multiplicar isso tudo?

    Hora de partir para a parte divertida! Agora, imagine o nosso tabuleiro assim:

    -----------

    X 1 2
    A: A1 A2
    B: B1 B2

    -----------

    Casa 1 = A1
    Casa 2 = B1
    Casa 3 = A2
    Casa 4 = B2


    Imaginou isso tudo? Beleza, agora vamos substituir os valores da tabela acima pelos algarismos citados aos do vídeo.

    -----------

    X 10 -7
    10: C1 C2
    -3: C3 C4

    -----------


    Assim, multiplicamos as casas de acordo com os valores em sua linha e coluna. Primeiramente, iremos trabalhar com a primeira linha. Basicamente, iremos multiplicar o número que está na primeira linha pelo número que está na primeira coluna. Esse será o valor da casa 1. Nesse caso, o valor que está na primeira linha é o número 10. e o que se encontra na primeira coluna também é 10. Então, o cálculo será assim:

    10 ∙ 10 = 100

    Agora, para descobrir o valor da Casa 2, precisamos multiplicar o mesmo valor da linha pelo número da segunda coluna. O valor que está na segunda coluna equivale a -7, e será multiplicado pelo valor da primeira linha. Agora o cálculo será assim:

    10 ∙ -7 = -70

    Com esse procedimento, conseguimos o valor da Casa 1 e da Casa 2. Mas ainda falta descobrir o valor da Casa 3 e 4:

    100 + -70 + c3 + c4

    Ah Harry, como vamos descobrir esses outros dois valores?

    Muito simples. Vamos fazer a mesma coisa que fizemos anteriormente, porém, trabalhando agora com a segunda linha. O valor da linha, que antes era 10, agora é -3. Agora você entendeu a lógica, né?

    Casa 3: -3 ∙ 100 = -300
    Casa 4: -3 ∙ -70 = 21

    E assim, resolvemos o problema!

    100 + -70 + -300 + 21

    Eu espero ter ajudado. Se tiverem dúvidas, só responder esse comentário. Isso vai ajudar a melhorar a forma que eu explico as coisas aqui no Khan.

    Votem up porque deu um trabalho enorme explicar isso tudo.

    :)
    (8 votos)
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  • Avatar mr pants pink style do usuário Julia Souza
    só pelos pontos.
    (5 votos)
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  • Avatar scuttlebug blue style do usuário isabela.rodrigues.camargo
    tendi uma karaia, bagui esquisito da poha
    (5 votos)
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  • Avatar blobby blue style do usuário Ana Sena
    tendi td pqp
    (3 votos)
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  • Avatar blobby green style do usuário kutax.ana
    ja ganhou tan tan tan
    (3 votos)
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  • Avatar aqualine ultimate style do usuário valenthina.bueno
    que bagaceira é essa put mrd coisa do demônio
    (3 votos)
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  • Avatar blobby green style do usuário Milena
    tendi foi nada mds... pqp vou virar clt
    (1 voto)
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  • Avatar blobby green style do usuário antony.ferreira.martins
    vamo derrubaar o khan academy
    (1 voto)
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  • Avatar starky tree style do usuário MANU
    dificil viu :] to com duvida
    (1 voto)
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Transcrição de vídeo

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula nós vamos realizar multiplicações polinomiais com temos negativos utilizando áreas. Mas antes disso, vamos relembrar como multiplicamos utilizando dois termos positivos, ou seja, vamos multiplicar (x mais 7) por (x mais 3) utilizando o modelo de área que já vimos. Ou seja, temos um retângulo aqui e vamos tentar dividi-lo ao meio, em que esse comprimento vai ser a primeira soma, ou seja, x mais 7. Com isso esse pedacinho vai ser x e esse outro vai ser 7, ou seja, todo esse comprimento é igual a x mais 7. A altura desse retângulo vai ser x, que é esse pedaço, mais 3, que é esse aqui. Esse modelo de área nos ajuda a calcular essas multiplicações de forma separada porque a área total do retângulo vai ser esse comprimento, que é x mais 7, esse (x mais 7) aqui vezes a sua altura, que é x mais 3, esse (x mais 3) aqui. Mas, claro, podemos dividir esse retângulo maior em quatro retângulos menores. Na verdade, esse retângulo é um quadrado e área dele vai ser x vezes x, que é x². A área desse retângulo vai ser 7x, ou seja, 7 vezes x. A área desse quadrado vai ser 3x e área desse aqui vai ser 3 vezes 7, que é igual a 21. Se somarmos todas essas áreas, vamos ter o produto que estamos procurando, ou seja, x² mais 7x mais 3x mais 21. Essa é a área do retângulo maior. E claro, ainda poderíamos adicionar esse 7x com esse 3x, mas não é o caso dessa aula. Eu só queria dar uma relembrada nisso. Ok, então quando temos (x mais 7) que multiplica (x mais 3) fica bem fácil porque temos comprimentos positivos e então vai dar uma área positiva, correto? Mas e se não fosse bem assim? Se estivéssemos lidando com números negativos, o que faríamos? Por exemplo, se agora você tiver essa multiplicação aqui, que é (x menos 7) que multiplica (x menos 3), será que conseguiríamos fazer do mesmo jeito? Vamos lá. Pensando da mesma forma, esse lado aqui, esse comprimento, vai ser igual a (x menos 7), correto? Geralmente não consideramos comprimentos negativos porque isso é meio estranho, mas para continuar a aula vamos aceitar por ora. Essa altura vai ser (x menos 3). Aqui o x, que equivale a esse pedacinho do retângulo, e aqui -3 e se continuarmos fazendo, a área desse quadrado vai ser x², a área desse retângulo vai ser esse comprimento vezes esse, ou seja, -7 vezes x, que dá -7x, a área desse quadrado vai ser -3x e área desse retângulo vai ser -3 que multiplica -7, que vai ser igual a 21. Se quisermos saber a área desse retângulo maior, basta somarmos as subáreas que estão dentro dele, ou seja, x² menos 7x menos 3x mais 21. Se quisermos ainda podemos juntar esses dois termos e ficaríamos com menos 10x. Mas a minha pergunta é: isso faz algum sentido? Sim, faz, porque uma maneira de pensar nisso é que estamos retirando uma pequena parte de área da área total e note que se x for positivo, essa área aqui vai ser negativa, o que está indicando que estamos subtraindo do total. É isso que está acontecendo nessa expressão. Você pode ter um x aqui negativo que vai dar um produto negativo de qualquer maneira, mas isso só está indicando que está retirando do total. Só para você ver que isso funciona, mesmo tendo um número negativo aqui de fato, sem o x, que pode mudar, eu vou colocar um exemplo aqui em que x é igual a 10. Se x fosse igual a 10, teríamos um modelo de área mais ou menos assim. Aqui (10 menos 7) que multiplicamos por (10 menos 3). Bem, pode ser que você pense: "Espere aí. 10 menos 7 dá 3, e 10 menos 3 dá 7. E se multiplicarmos vamos ficar com essa área aqui, que é igual a 21". É um bom pensamento, mas será que acontece isso de fato? Vamos lá. Essa área aqui vai ser 10 vezes 10, que vai dar 100, a área nesse outro retângulo vai ser 10 vezes -7, que dá -70 (e isso significa que vamos tirar 70 da área total), a área desse retângulo vai ser -3 vezes 10, que vai ser igual a menos 30, e menos 3 vezes -7 vai dar a área desse retângulo, que vai ser igual a 21. Pegamos 100, subtraímos 70, depois subtraímos 30 e depois adicionamos o 21. 100 menos 70 dá 30, menos 30 vai dar zero e então sobra só esse 21 aqui, ou seja, bateu com aquele pensamento inicial. Você também pode pegar essa área aqui, mover para cá e subtrair da área azul e ainda pode pegar esse retângulo, colocar na vertical, e aí você vai subtrair o resto da área azul e vai ficar somente com essa área aqui. A lição dessa aula é: modelos de áreas também funcionam para multiplicações de polinômios com temos negativos. Eu espero que essa aula tenha ajudado vocês, e até a próxima, pessoal!